a.Vì $A_{1}$ là trung điểm $BC$ nên $A_{1}(\frac{7}{2};\frac{5}{2})$
suy ra $\overrightarrow {AA_{1}}(\frac{5}{2};\frac{1}{2})$
b.Ta có:
$AB^{2}=(3-1)^{2}+(5-2)^{2}=13$
$CB^{2}=(3-4)^{2}+5^{2}=26$
$AC^{2}=(4-1)^{2}+2^{2}=13$
Nhận xét rằng:
$AB^{2}+AC^{2}=BC^{2} \Leftrightarrow \triangle ABC $vuông tại $A \Leftrightarrow I$ là trung điểm $BC$
$\Leftrightarrow I(\frac{7}{2};\frac{5}{2})$
Vậy ta được $I(\frac{7}{2};\frac{5}{2})$
c.Giả sử $D(x,y)$,khi đó để $ABCD$ là hình bình hành điều kiện là:
$\overrightarrow {AD}=\overrightarrow {BC} $
$\Leftrightarrow (x-1;y-2)=(1;-5) \Leftrightarrow \begin{cases} x-1=1 \\y-2=5 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x=2 \\ y=-3 \end{cases} $
Vậy tọa độ $D(2;-3)$