Bài 109284

Question

Cho tam giác đều $ABC$ cạnh $a$,trọng tâm $G$.
a.Tính các tích vô hướng: $\overrightarrow {AB}.\overrightarrow {AC}$ và $\overrightarrow {AB}.\overrightarrow {BC}$
b.Gọi $I$ là điểm thỏa mãn $\overrightarrow {IA}-2.\overrightarrow {IB}+4.\overrightarrow {IC}=\overrightarrow {0.}$
Chứng minh rằng $BCIG$ là hình bình hành,từ đó tính $\overrightarrow {IA}(\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {AC}),\overrightarrow {IB}.\overrightarrow {IC},\overrightarrow {IA}.\overrightarrow {IB}$

score 0 · Answer 1

a.Ta có: $(\overrightarrow {AB}.\overrightarrow {AC})=60^{0}$
$\Rightarrow \overrightarrow {AB}.\overrightarrow {AC}=AB.AC.\cos 60^{0}=a.a.\frac{1}{2}=\frac{1}{2}.a^{2}$
Ta có: $(\overrightarrow {AB}.\overrightarrow {BC})=120^{0}$
$\Rightarrow \overrightarrow {AB}.\overrightarrow {BC}=AB.BC.\cos 120^{0}=a.a.(-\frac{1}{2})=-\frac{1}{2}.a^{2}$
b.Ta có:
$\overrightarrow {IA}-2.\overrightarrow {IB}+4.\overrightarrow {IC}=\overrightarrow {0.}$
$\Leftrightarrow (\overrightarrow {GA}-\overrightarrow {GI})-2.(\overrightarrow {GB}-\overrightarrow {GI})+4.(\overrightarrow {GC}-\overrightarrow {GI})=\overrightarrow {0.}$
$\Leftrightarrow \overrightarrow {GA}-2\overrightarrow {GB}=3\overrightarrow {GI}$
$\Leftrightarrow (\overrightarrow {GA}+\overrightarrow {GB}+\overrightarrow {GC})-3.\overrightarrow {GB}+3.\overrightarrow {GC}=3\overrightarrow {GI}$
$\Leftrightarrow \overrightarrow {BC}=\overrightarrow {GI} \Leftrightarrow BCIG$ là hình bình hành.
Gọi $M$ là trung điểm $BC$,ta được:
$\overrightarrow {IA}(\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {AC})=(\overrightarrow {IG}+\overrightarrow {GA}).2 \overrightarrow {AM}=2.\overrightarrow {IG}.\overrightarrow {AM}+2.\overrightarrow {GA}.\overrightarrow {AM}$
$=2.\overrightarrow {CB}.\overrightarrow {AM}-2.\overrightarrow {GA}.\overrightarrow {AM}=-2.\frac{a\sqrt{3}}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}=-a^{2}$
$\overrightarrow {IB}.\overrightarrow {IC}=(\overrightarrow {IA}+\overrightarrow {AB})(\overrightarrow {IA}+\overrightarrow {AC})$
$=IA^{2}+\overrightarrow {IA}(\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {AC})+\overrightarrow {AB}.\overrightarrow {AC}$
$=AG^{2}+GI^{2}-a^{2}+\frac{1}{2}a^{2}=(\frac{a\sqrt{3}}{3})^{2}+a^{2}-a^{2}+\frac{1}{2}a^{2}=\frac{5a^{2}}{6}$
$\overrightarrow {IA}.\overrightarrow {IB}=(\overrightarrow {IG}+\overrightarrow {GA})(\overrightarrow {IG}.\overrightarrow {IC})$
$=IG^{2}+\overrightarrow {IG}.\overrightarrow {IC}+\overrightarrow {GA}.\overrightarrow {IG}+\overrightarrow {GA}.\overrightarrow {IC}$
$=IG^{2}+\overrightarrow {IG}.\overrightarrow {IC} +\overrightarrow {GA}.\overrightarrow {GB}$
$=IG^{2}+\overrightarrow {IG}.\overrightarrow {IC}.\cos 30^{0}+\overrightarrow {GA}.\overrightarrow {GB}.\cos 120^{0}$
$=(\frac{a\sqrt{3}}{3})^{2}+a.\frac{a\sqrt{3}}{2}.\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{a\sqrt{3}}{2}.\frac{a\sqrt{3}}{2}.(-\frac{1}{2})=\frac{17a^{2}}{24}$

Bài 109284

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 109284

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan