Bài 109325

Question

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng

$(d_1); (d_2)$ cho bởi:

$(d_1): \begin{cases}x=3+2t \\ y=1-t\\z=5-t \end{cases} ; (d_2): \begin{cases}x=3+2u \\ y=-3-u\\z=1-u \end{cases} ; (d): \begin{cases}2x-y+z-5=0 \\ x-3y-z+3=0 \end{cases}$
1. Chứng minh rằng

$(d_1), (d_2)$ song song với nhau
2. Lập phương trình mặt cầu tiếp xúc với

$(d_1), (d_2)$ và có tâm thuộc đường thẳng (d)

score 0 · Answer 1

1. Xét hệ phương trình tạo bởi

$(d_1); (d_2)$

$\begin{cases}3+2t=3+2u \\ 1-t=-3-u\\5-t=1-u \end{cases}$ vô nghiệm

$\Rightarrow (d_1) \cap (d_2)=\varnothing$
Từ phương trình của

$(d_1); (d_2)$ suy ra:

$\overrightarrow{a_1}(2; -1; -1), \overrightarrow{a_2}(2; -1; -1)$ là vtcp của

$(d_1); (d_2) \Rightarrow \overrightarrow{a_1}//\overrightarrow{a_2}$
Vậy

$(d_1); (d_2)$ song song với nhau
2. Chuyển phương trình (d) về dạng tham số:

$\begin{cases}x=2+4v \\ y=1+3v\\z=2-5v \end{cases}$
Giả sử mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc với

$(d_1), (d_2)$ theo thứ tự tại A, B suy ra:

$I(2+4v; 1+3v; 2-5v) ; A(3+2t; 1-t; 5-t) ; B(3+2u; -3-u; 1-u)$

$\Rightarrow \overrightarrow{IA}(1+2t-4v; -t-3v; 3-t+5v) ; \overrightarrow{IB}(1+2u-4v; -4-u-3v; -1-u+5v)$
Ta có điều kiện:

$\begin{cases}\overrightarrow{IA} \bot (d_1) \\ \overrightarrow{IB} \bot (d_2)\\IA=IB \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}\overrightarrow{IA} \bot \overrightarrow{a_1} \\ \overrightarrow{IB} \bot \overrightarrow{a_2}\\IA=IB \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}\overrightarrow{IA}.\overrightarrow{a_1}=0 \\ \overrightarrow{IB}.\overrightarrow{a_2}=0\\IA^2=IB^2 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}t=\frac{1}{6} \\v=0\\u=-\frac{7}{6} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}Tọa độ I(2; 1; 2)) \\ IA=\sqrt{\frac{59}{6} } \end{cases}$
Mặt cầu (S) có phương trình:

$(x-2)^2+(y-1 )^2+(z-2)^2=\frac{59}{6}$

Bài 109325

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 109325

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan