Bài 109345

Question

Cho hai điểm cố định $A,B$. Tìm tập hợp các điểm $M$ saocho:
$1) |\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB} |=|\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB} | 2) |2 \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB} |=|\overrightarrow{MA}+2 \overrightarrow{MB} |$
$3) |\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB} |=|\overrightarrow{MA} |+|\overrightarrow{MB} | 4) |2 \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB} |=2 |\overrightarrow{MA} |+|\overrightarrow{MB} | $

Kit Nguyen · Answer 1 · 6/22/2012 10:20:11 AM

$1.$ Gọi $I$ là trung điểm của $AB$. Ta có:
          $|\overrightarrow{MA} +\overrightarrow{MB}|=|\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB} | $
$\Leftrightarrow     |\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}|=|\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}-(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB} ) |$
$\Leftrightarrow      |2 \overrightarrow{MI} |=|\overrightarrow{BA} |    \Leftrightarrow     |\overrightarrow{MI} |=|\overrightarrow{IA} |    \Leftrightarrow     IM=IA$
Vậy tập hợp các điểm $M$ là đường tròn tâm $I$,bán kính là $IA=\frac{AB}{2} $.
$2.$ Chọn $P,Q$ sao cho:   $2 \overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{0}=\overrightarrow{QA}+2 \overrightarrow{QB}
(P, Q$ đối xứng qua trung điểm $I$ của $AB)     $
Ta có: $|2 \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB} |=|\overrightarrow{MA}+2 \overrightarrow{MB} |$
$\Leftrightarrow    |2(\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{PA} )+(\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{PB} )|=|\overrightarrow{MQ}+\overrightarrow{QA}+2(\overrightarrow{MQ}+\overrightarrow{QB} ) |$
$\Leftrightarrow    |3 \overrightarrow{MP}+2 \overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}   |=|3 \overrightarrow{MQ}+\overrightarrow{QA}+2 \overrightarrow{QB}   |$
$\Leftrightarrow    |3 \overrightarrow{MP} |=|3 \overrightarrow{MQ} |    \Leftrightarrow      MP=MQ$
Vậy $M$ cách đều hai điểm cố định $P,Q$ nên tập hợp điểm $M$ là đường trung trực của đoạn $PQ$ (cũng là trung trực của $AB$)

$3.$

Dựng hình bình hành $MANB$ ta có: $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MN}                 (*)$
Ta có: $MN \leq MB+BN$ (Dấu "=" xảy ra khi $B\in MN$)
Ta có: $|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB} |=|\overrightarrow{MA} |+|\overrightarrow{MB} |$
$\Leftrightarrow     |\overrightarrow{MN} |=|\overrightarrow{MA} |+|\overrightarrow{MB} |$        do (*)
$\Leftrightarrow     MN=MB+BN$
$\Leftrightarrow     B \in MN$
Vậy tập hợp điểm $M$ chính là đường thẳng $AB$ trừ đoạn $AB$.

$4.$

Ta có: $|2 \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB} |\leq |2 \overrightarrow{MA} |+|\overrightarrow{MB} |$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $M \in AB$ trừ các điểm nằm trong đoạn $AB$.

Bài 109345

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 109345

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan