Bài 109495

Question

Cho $\Delta ABC$ có các cạnh bằng $a,b,c$.
a. Tính $\overrightarrow {AB}.\overrightarrow {AC}$ theo $a,b,c$,từ đó suy ra: $\overrightarrow {AB}.\overrightarrow {BC}+\overrightarrow {BC}.\overrightarrow {CA}+\overrightarrow {CA}.\overrightarrow {AB}$
b. Gọi $M$ là trung điểm $BC$ và $G$ là trọng tâm $\Delta ABC$,tính độ dài $AM$ từ đó suy ra độ dài $AG$ và Côsin góc nhọn tạo bởi $AG$ và $BC$.

score 0 · Answer 1

$a.$
Ta có: $\overrightarrow {BC}=\overrightarrow {AC}-\overrightarrow {AB}$ (1)
Bình phương vô hướng hai vế của (1),ta được:
$\overrightarrow {BC}^{2}=(\overrightarrow {AC}-\overrightarrow {AB})^{2}$
$\Rightarrow BC^{2}=AC^{2}+AB^{2}-2.\overrightarrow {AC}.\overrightarrow {AB}$
Theo tính giao hoán,ta có: $\overrightarrow {AC}.\overrightarrow {AB}=\overrightarrow {AB}.\overrightarrow {AC}$,suy ra:
$\overrightarrow {AB}.\overrightarrow {AC}=\frac{1}{2}(AB^{2}+AC^{2}-BC^{2})=\frac{1}{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2})$
Bằng cách tương tự,ta được:
$\overrightarrow {BA}.\overrightarrow {BC}=\frac{1}{2}(a^{2}+c^{2}-b^{2})$
và $\overrightarrow {CA}.\overrightarrow {CB}=\frac{1}{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})$
Từ đó:
$\overrightarrow {AB}.\overrightarrow {BC}+\overrightarrow {BC}.\overrightarrow {CA}+\overrightarrow {CA}.\overrightarrow {AB}$
$=-\overrightarrow {BA}.\overrightarrow {BC}-\overrightarrow {CA}.\overrightarrow {CB}-\overrightarrow {AB}.\overrightarrow {AC}$
$=-\frac{1}{2}(a^{2}+c^{2}-b^{2})-\frac{1}{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})-\frac{1}{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2})=-\frac{1}{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})$
$b.$
Ta có: $\overrightarrow {AM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {AC})$ (2)
Bình phương vô hướng hai vế của (2),ta được:
$AM^{2}=\frac{1}{4}(\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {AC})^{2}=\frac{1}{4}(AB^{2}+AC^{2}+2\overrightarrow {AB}.\overrightarrow {AC})$
$=\frac{1}{4}[c^{2}+b^{2}+2.\frac{1}{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2})]=\frac{1}{4}(2c^{2}+2b^{2}-a^{2})$
$\Leftrightarrow AM=\frac{1}{2}\sqrt{2c^{2}+2b^{2}-a^{2}}$ (*)
Suy ra:
$AG=\frac{2}{3}AM=\frac{2}{3}.\frac{1}{2}\sqrt{2c^{2}+2b^{2}-a^{2}}=\frac{1}{3}\sqrt{2c^{2}+2b^{2}-a^{2}}$
$c.$
Gọi $\alpha$ là góc nhọn tạo bởi $AG$ và $BC$, khi đó:
$|\overrightarrow {AG}.\overrightarrow {BC}|=|\overrightarrow {AG}|.|\overrightarrow {BC}|.\cos \alpha$
$\Leftrightarrow \cos \alpha=\frac{|\overrightarrow {AG}.\overrightarrow {BC}|}{|\overrightarrow {AG}|.|\overrightarrow {BC}|}$ (3)
Ta đi tính $\overrightarrow {AG}.\overrightarrow {BC}$ bằng cách:
$\overrightarrow {AG}.\overrightarrow {BC}=\frac{1}{3}(\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {AC})(\overrightarrow {AC}-\overrightarrow {AB})$
$=\frac{1}{3}(AC^{2}-AB^{2})=\frac{1}{3}(b^{2}-c^{2})$ (4)

Thay (4) vào (3),ta được:
$\cos \alpha= \frac{\frac{1}{3}|b^{2}-c^{2}|}{\frac{1}{3}\sqrt{2c^{2}+2b^{2}-a^{2}}.a} =\frac{|b^{2}-c^{2}|}{a.\sqrt{2c^{2}+2b^{2}-a^{2}}}$

Bài 109495

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 109495

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan