Bài 109501

Question

cho hình lập phương $ABCD.A_1B_1C_1D_1$ cạnh $a$. Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm của $AB,B_1C_1,DD_1$
$a.$ Chứng minh $(MNP)$ song song với các mặt phẳng $(AB_1D_1)$ và $(BDC_1)$
$b.$ Xác định thiết diện của hình lập phương với mặt phẳng $(MNP)$. Thiết diện là hình gì? Tính diện tích của nó.

score 0 · Answer 1

$a.$ Gọi $O,O_1,I$ theo thứ tự là tâm của các hình vuông $ABCD,A_1B_1C_1D_1$ và $BCC_1B_1$
Nhận xét rằng :
$MN\mathop = \limits^{//} \frac{1}{2} AD\mathop = \limits^{//} \frac{1}{2} A_1D_1\mathop = \limits^{//} \frac{1}{2} B_1G_1\mathop = \limits^{//} NC_1$
$\Leftrightarrow MOC_1N$ là hình bình hành
$\Rightarrow MN//OC_1 (1)$
$NI\mathop = \limits^{//} \frac{1}{2} BB_1\mathop = \limits^{//} \frac{1}{2} AA_1\mathop = \limits^{//} \frac{1}{2} DD_1\mathop = \limits^{//} PD$
$\Leftrightarrow NIDP$ là hình bình hành
$\Rightarrow PN//DI (2)$
Từ $(1), (2)$ suy ra $(MNP)//(BDC_1)$
Mặt khác :
$\begin{cases}AO_1//C_1O\\B_1D_1//BD \end{cases} \Rightarrow (AB_1D_1)//(BDC_1)$
Vậy $(MNP)$ song song với các mặt phẳng $(AB_1D_1),(BDC_1)$

$b.$ Từ kết quả câu $a.$ ta nhận xét :
$\begin{cases}(AB_1D_1)//(MNP)\\(AB_1D_1)\cap (A_1B_1C_1D_1)=B_1D_1\\(MNP)\cap (A_1B_1C_1D_1)=Nx \end{cases} $
suy ra $Nx$ song song với $B_1D_1$ và cắt $C_1D_1$ tại $F$ là trung điểm của $C_1D_1$
$\begin{cases}(C_1BD)//(MNP)\\(C_1BD)\cap (ABCD)=BD\\(MNP)\cap (ABCD)=My \end{cases} $
suy ra $My$ song song với $BD$ và cắt $AD$ tại $Q$ là trung điểm của $AD$
Kéo dài $FN$ cắt $A_1B_1$ tại $G$ nối $GM$ cắt $BB_1$ tại $E$
Vậy thiết diện của hình lập phương với mặt phẳng $(MNP)$ là lục giác $MENFPQ$
Dựa theo tính chất đường trung bình
ta thấy ngay $MENFPQ$ là lục giác đều có độ dài cạnh bằng $\frac{a\sqrt{2} }{2} $
Khi đó : $S_{MENFPQ}=6.\frac{(\frac{a\sqrt{2} }{2} )^2.\sqrt{3} }{4} =\frac{3a^2\sqrt{3} }{4} $

Bài 109501

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 109501

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan