Bài 109501

Question

cho hình lập phương

$ABCD.A_1B_1C_1D_1$ cạnh

$a$ . Gọi

$M,N,P$ lần lượt là trung điểm của

$AB,B_1C_1,DD_1$

$a.$ Chứng minh

$(MNP)$ song song với các mặt phẳng

$(AB_1D_1)$ và

$(BDC_1)$

$b.$ Xác định thiết diện của hình lập phương với mặt phẳng

$(MNP)$ . Thiết diện là hình gì? Tính diện tích của nó.

score 0 · Answer 1

$a.$ Gọi

$O,O_1,I$ theo thứ tự là tâm của các hình vuông

$ABCD,A_1B_1C_1D_1$ và

$BCC_1B_1$
Nhận xét rằng :

$MN\mathop = \limits^{//} \frac{1}{2} AD\mathop = \limits^{//} \frac{1}{2} A_1D_1\mathop = \limits^{//} \frac{1}{2} B_1G_1\mathop = \limits^{//} NC_1$

$\Leftrightarrow MOC_1N$ là hình bình hành

$\Rightarrow MN//OC_1 (1)$

$NI\mathop = \limits^{//} \frac{1}{2} BB_1\mathop = \limits^{//} \frac{1}{2} AA_1\mathop = \limits^{//} \frac{1}{2} DD_1\mathop = \limits^{//} PD$

$\Leftrightarrow NIDP$ là hình bình hành

$\Rightarrow PN//DI (2)$
Từ

$(1), (2)$ suy ra

$(MNP)//(BDC_1)$
Mặt khác :

$\begin{cases}AO_1//C_1O\\B_1D_1//BD \end{cases} \Rightarrow (AB_1D_1)//(BDC_1)$
Vậy

$(MNP)$ song song với các mặt phẳng

$(AB_1D_1),(BDC_1)$

$b.$ Từ kết quả câu

$a.$ ta nhận xét :

$\begin{cases}(AB_1D_1)//(MNP)\\(AB_1D_1)\cap (A_1B_1C_1D_1)=B_1D_1\\(MNP)\cap (A_1B_1C_1D_1)=Nx \end{cases}$
suy ra

$Nx$ song song với

$B_1D_1$ và cắt

$C_1D_1$ tại

$F$ là trung điểm của

$C_1D_1$

$\begin{cases}(C_1BD)//(MNP)\\(C_1BD)\cap (ABCD)=BD\\(MNP)\cap (ABCD)=My \end{cases}$
suy ra

$My$ song song với

$BD$ và cắt

$AD$ tại

$Q$ là trung điểm của

$AD$
Kéo dài

$FN$ cắt

$A_1B_1$ tại

$G$ nối

$GM$ cắt

$BB_1$ tại

$E$
Vậy thiết diện của hình lập phương với mặt phẳng

$(MNP)$ là lục giác

$MENFPQ$
Dựa theo tính chất đường trung bình
ta thấy ngay

$MENFPQ$ là lục giác đều có độ dài cạnh bằng

$\frac{a\sqrt{2} }{2}$
Khi đó :

$S_{MENFPQ}=6.\frac{(\frac{a\sqrt{2} }{2} )^2.\sqrt{3} }{4} =\frac{3a^2\sqrt{3} }{4}$

Bài 109501

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 109501

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan