Bài 109545

Question

Cho $\triangle ABC$.Tìm tập hợp những điểm $M$ sao cho:
a.$(\overrightarrow {MA}+\overrightarrow {MB})(\overrightarrow {MA}+\overrightarrow {MC})=0$
b.$2\overrightarrow {MB}^{2}+\overrightarrow {MB}.\overrightarrow {MC}=a^{2}$ với $a=BC.$

score 0 · Answer 1

$a.$
Gọi $E,F$ theo thứ tự là trung điểm $AB$ và $AC$.
Ta biến đổi đẳng thức về dạng:
$2.\overrightarrow {ME}.2 \overrightarrow {MF}=0 \Leftrightarrow \overrightarrow {ME}.\overrightarrow {MF}=0 \Leftrightarrow ME \bot MF$
$\Leftrightarrow M$ nhìn $EF$ dưới một góc vuông
$\Leftrightarrow M$ thuộc đường tròn đường kính $EF$

Vậy $M$ thuộc đường tròn đường kính $EF$ với $E,F$ là trung điểm $AB,AC$
$b.$Ta biến đổi đẳng thức về dạng:
$a^{2}=2.\overrightarrow {MB}^{2}+\overrightarrow {MB}.\overrightarrow {MC}=\overrightarrow {MB}(2\overrightarrow {MB}+\overrightarrow {MC})$ (1)
Gọi $K$ là điểm thỏa mãn:
$2\overrightarrow {KB}+\overrightarrow {KC}=\overrightarrow {0}$
$\Leftrightarrow 2\overrightarrow {KB}+(\overrightarrow {KB}+\overrightarrow {BC})=\overrightarrow {0}$
$\Leftrightarrow \overrightarrow {KB}=-\frac{1}{3}\overrightarrow {BC}$
Tức là tồn tại duy nhất điểm $K$ cố định và $KB=\frac{a}{3}$
Khi đó $2\overrightarrow {MB}+\overrightarrow {MC}=(2+1)\overrightarrow {MK}=3.\overrightarrow {MK}$
Từ đó (1) có dạng $a^{2}=3.\overrightarrow {MB}.\overrightarrow {MK}$
Gọi $I$ là trung điểm $BK$,ta được:
$a^{2}=3(\overrightarrow {MI}+\overrightarrow {IB}).(\overrightarrow {MI}+\overrightarrow {IK})$
$=3(\overrightarrow {MI}+\overrightarrow {IB}).(\overrightarrow {MI}-\overrightarrow {IB})=3(MI^{2}-IB^{2})$
$\Leftrightarrow MI^{2}=\frac{a^{2}}{3}+\frac{BK^{2}}{4}=\frac{a^{2}}{3}+\frac{a^{2}}{36}=\frac{13a^{2}}{36}$
$\Leftrightarrow MI=\frac{a\sqrt{13}}{6}$
$\Leftrightarrow M$ thuộc đường tròn tâm $I$ bán kính $R=\frac{a\sqrt{13}}{6}$

Bài 109545

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 109545

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan