Bài 109570

Question

Cho tứ diện $OABC$ có $OA,OB,OC$ đôi một vuông góc với nhau.Gọi $H$ là hình chiều vuông của điểm $O$ trên mặt phẳng $(ABC)$
$a.$ Chứng minh rằng $BC\bot (OAH),CA\bot (OBH),AB\bot (OCH)$
$b.$ Chứng minh rằng $H$ là trực tâm của $\Delta ABC$
$c.$ Chứng minh rằng $\frac{1}{OH^2}=\frac{1}{OA^2} +\frac{1}{OB^2} +\frac{1}{OC^2} $
$d.$ Chứng minh rằng các góc của tam giác $ABC$ đều nhọn.

score 0 · Answer 1

$a.$ Từ giả thiết
$OH\bot (ABC)\Rightarrow OH\bot BC     (1)$
Ta có :
$\begin{cases}OA\bot OB\\OA\bot OC \end{cases} \Leftrightarrow OA\bot (OBC)\Rightarrow OA\bot BC        (2)$
Từ $(1),(2)$ suy ra $BC\bot (OAH)$
Chứng minh tương tự ta nhận được $CA\bot (OBH),AB\bot (OCH)$
$b.$ Từ kết quả câu $a.$ ta có :
$BC\bot (OAH)\Rightarrow BC\bot AH         (3)$
$AC\bot (OBH)\Rightarrow AC\bot BH          (4)$
Từ $(3),(4)$ suy ra $H$ là trực tâm của $\Delta ABC$

$c.$ Giả sử $AH$ cắt $BC$ tại $K$,suy ra $OK\bot BC$
- Trong $\Delta OBC$ vuông tại $O$ ta có :
$\frac{1}{OK^2}=\frac{1}{OB^2}+\frac{1}{OC^2} $
- Trong $\Delta OAK$ vuông tại $O$ ta có :
$\frac{1}{OH^2}=\frac{1}{OA^2} +\frac{1}{OK^2} =\frac{1}{OA^2}+\frac{1}{OB^2} +\frac{1}{OC^2} $ (đpcm)
$d.$ Giả sử $OA=a,OB=b,OC=c$
Xét $\Delta ABC$ vuông tại $O$ ta có :
$AB^2=OA^2+OB^2=a^2+b^2$
$BC^2=OB^2+OC^2=b^2+c^2$
$AC^2=OA^2+OC^2=a^2+c^2$
$cos\widehat{BAC}=\frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2AB.AC}=\frac{a^2+b^2+a^2+c^2-(b^2+c^2)}{2\sqrt{a^2+b^2} .\sqrt{a^2+c^2} } >0$
$\Rightarrow $ góc $\widehat{BAC} $ nhọn
Chứng minh tương tự ta được các góc $\widehat{ABC},\widehat{ACB} $ đều nhọn
Vậy các góc của tam giác $ABC$ đều nhọn

Bài 109570

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 109570

1 Đáp án

Liên quan

Sử dụng công thức thể tích tính khoảng cách

Lý thuyết liên quan