Bài 109570

Question

Cho tứ diện

$OABC$ có

$OA,OB,OC$ đôi một vuông góc với nhau.Gọi

$H$ là hình chiều vuông của điểm

$O$ trên mặt phẳng

$(ABC)$

$a.$ Chứng minh rằng

$BC\bot (OAH),CA\bot (OBH),AB\bot (OCH)$

$b.$ Chứng minh rằng

$H$ là trực tâm của

$\Delta ABC$

$c.$ Chứng minh rằng

$\frac{1}{OH^2}=\frac{1}{OA^2} +\frac{1}{OB^2} +\frac{1}{OC^2}$

$d.$ Chứng minh rằng các góc của tam giác

$ABC$ đều nhọn.

score 0 · Answer 1

$a.$ Từ giả thiết

$OH\bot (ABC)\Rightarrow OH\bot BC (1)$
Ta có :

$\begin{cases}OA\bot OB\\OA\bot OC \end{cases} \Leftrightarrow OA\bot (OBC)\Rightarrow OA\bot BC (2)$
Từ

$(1),(2)$ suy ra

$BC\bot (OAH)$
Chứng minh tương tự ta nhận được

$CA\bot (OBH),AB\bot (OCH)$

$b.$ Từ kết quả câu

$a.$ ta có :

$BC\bot (OAH)\Rightarrow BC\bot AH (3)$

$AC\bot (OBH)\Rightarrow AC\bot BH (4)$
Từ

$(3),(4)$ suy ra

$H$ là trực tâm của

$\Delta ABC$

$c.$ Giả sử

$AH$ cắt

$BC$ tại

$K$ ,suy ra

$OK\bot BC$
- Trong

$\Delta OBC$ vuông tại

$O$ ta có :

$\frac{1}{OK^2}=\frac{1}{OB^2}+\frac{1}{OC^2}$
- Trong

$\Delta OAK$ vuông tại

$O$ ta có :

$\frac{1}{OH^2}=\frac{1}{OA^2} +\frac{1}{OK^2} =\frac{1}{OA^2}+\frac{1}{OB^2} +\frac{1}{OC^2}$ (đpcm)

$d.$ Giả sử

$OA=a,OB=b,OC=c$
Xét

$\Delta ABC$ vuông tại

$O$ ta có :

$AB^2=OA^2+OB^2=a^2+b^2$

$BC^2=OB^2+OC^2=b^2+c^2$

$AC^2=OA^2+OC^2=a^2+c^2$

$cos\widehat{BAC}=\frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2AB.AC}=\frac{a^2+b^2+a^2+c^2-(b^2+c^2)}{2\sqrt{a^2+b^2} .\sqrt{a^2+c^2} } >0$

$\Rightarrow$ góc

$\widehat{BAC}$ nhọn
Chứng minh tương tự ta được các góc

$\widehat{ABC},\widehat{ACB}$ đều nhọn
Vậy các góc của tam giác

$ABC$ đều nhọn

Bài 109570

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 109570

1 Đáp án

Liên quan

Sử dụng công thức thể tích tính khoảng cách

Lý thuyết liên quan