Bài 109768

Question

Cho $\Delta ABC$, biết $A(1;2),B(-1;1),C(5;-1)$
a) Tính $\overrightarrow {AB}.\overrightarrow {AC}$
b) Tính $\cos$ và $\sin$ góc $A$.
c) Tìm tọa độ chân đường cao $A_{1}$ của $\Delta ABC$
d) Tìm tọa độ trực tâm $H$ của $\Delta ABC$
e) Tìm tọa độ trọng tâm $G$ của $\Delta ABC$
f) Tìm tọa độ tâm $I$ của đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$, từ đó chứng minh rằng $I,H,G$ thẳng hàng.

hoàng anh thọ · Answer 1 · 7/23/2012 3:00:45 PM

a) Ta có:$\overrightarrow {AB}(-2;-1),\overrightarrow {AC}(4;-3)$
$\Rightarrow \overrightarrow {AB}.\overrightarrow {AC}=-2.4-1.(-3)=-5$
b) Ta có:
$\cos A=\frac{\overrightarrow {AB}.\overrightarrow {AC}}{|\overrightarrow {AB}|.|\overrightarrow {AC}|}=\frac{-5}{\sqrt{5}.\sqrt{25}}=-\frac{1}{\sqrt{5}}$
$\sin A=\sqrt{1-\cos^{2} A}=\sqrt{1-\frac{1}{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}}$
c) $A_{1}(x;y)$ là chân đường cao từ đỉnh $A$ của $\Delta ABC$.
$\Leftrightarrow \begin{cases} \overrightarrow {AA_{1}}\bot \overrightarrow {BC} \\ \overrightarrow {BA_{1}}// \overrightarrow {BC}\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \overrightarrow {AA_{1}}.\overrightarrow {BC}=0 \\ \overrightarrow {BA_{1}}// \overrightarrow {BC}\end{cases} $
$\Leftrightarrow \begin{cases} (x-1,y-2).(6,-2)=0\\ (x+1,y-1) // (6,-2)\end{cases} $
$\Leftrightarrow \begin{cases} 6(x-1)-2(y-2)=0 \\ \frac{x+1}{6}=\frac{y-1}{-2}\end{cases} \Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\Rightarrow A(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$
d) $H(x;y)$ là trực tâm của $\Delta ABC$.
$\Leftrightarrow \begin{cases} \overrightarrow {AH}\bot \overrightarrow {BC} \\ \overrightarrow {BH}\bot \overrightarrow {CA}\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \overrightarrow {AH}.\overrightarrow {BC}=\overrightarrow {0} \\ \overrightarrow {BH}.\overrightarrow {CA}=\overrightarrow {0}\end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases} (x-1,y-2).(6,-2)=0\\ (x+1,y-1).(4,-3)=0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x=2\\ y=5\end{cases} $
Vậy $H(2;5)$
e) Tọa độ trọng tâm $G(\frac{5}{3};\frac{2}{3})$
f) $I(x;y)$ là tâm $I$ của đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$
$\Leftrightarrow AI=BI=CI$
$\Leftrightarrow \begin{cases} AI^{2}=BI^{2} \\ AI^{2}=CI^{2}\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} (x-1)^{2}+(y-2)^{2}=(x+1)^{2}+(y-1)^{2} \\ (x-1)^{2}+(y-2)^{2}=(x-5)^{2}+(y+1)^{2}\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x=\frac{3}{2}\\y=-\frac{3}{2}\end{cases} $
$\Rightarrow I(\frac{3}{2};-\frac{3}{2})$
Nhận xét rằng: $\overrightarrow {GH}(\frac{1}{3};\frac{13}{3})$ và $\overrightarrow {IH}(\frac{1}{3};\frac{13}{3}) \Rightarrow I,H,G$ thẳng hàng. (đpcm)

Bài 109768

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 109768

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan