Bài 109768

Question

Cho

$\Delta ABC$ , biết

$A(1;2),B(-1;1),C(5;-1)$
a) Tính

$\overrightarrow {AB}.\overrightarrow {AC}$
b) Tính

$\cos$ và

$\sin$ góc

$A$ .
c) Tìm tọa độ chân đường cao

$A_{1}$ của

$\Delta ABC$
d) Tìm tọa độ trực tâm

$H$ của

$\Delta ABC$
e) Tìm tọa độ trọng tâm

$G$ của

$\Delta ABC$
f) Tìm tọa độ tâm

$I$ của đường tròn ngoại tiếp

$\Delta ABC$ , từ đó chứng minh rằng

$I,H,G$ thẳng hàng.

hoàng anh thọ · Answer 1 · 7/23/2012 3:00:45 PM

a) Ta có:

$\overrightarrow {AB}(-2;-1),\overrightarrow {AC}(4;-3)$

$\Rightarrow \overrightarrow {AB}.\overrightarrow {AC}=-2.4-1.(-3)=-5$
b) Ta có:

$\cos A=\frac{\overrightarrow {AB}.\overrightarrow {AC}}{|\overrightarrow {AB}|.|\overrightarrow {AC}|}=\frac{-5}{\sqrt{5}.\sqrt{25}}=-\frac{1}{\sqrt{5}}$

$\sin A=\sqrt{1-\cos^{2} A}=\sqrt{1-\frac{1}{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}}$
c)

$A_{1}(x;y)$ là chân đường cao từ đỉnh

$A$ của

$\Delta ABC$ .

$\Leftrightarrow \begin{cases} \overrightarrow {AA_{1}}\bot \overrightarrow {BC} \\ \overrightarrow {BA_{1}}// \overrightarrow {BC}\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \overrightarrow {AA_{1}}.\overrightarrow {BC}=0 \\ \overrightarrow {BA_{1}}// \overrightarrow {BC}\end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} (x-1,y-2).(6,-2)=0\\ (x+1,y-1) // (6,-2)\end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} 6(x-1)-2(y-2)=0 \\ \frac{x+1}{6}=\frac{y-1}{-2}\end{cases} \Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\Rightarrow A(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$
d)

$H(x;y)$ là trực tâm của

$\Delta ABC$ .

$\Leftrightarrow \begin{cases} \overrightarrow {AH}\bot \overrightarrow {BC} \\ \overrightarrow {BH}\bot \overrightarrow {CA}\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \overrightarrow {AH}.\overrightarrow {BC}=\overrightarrow {0} \\ \overrightarrow {BH}.\overrightarrow {CA}=\overrightarrow {0}\end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} (x-1,y-2).(6,-2)=0\\ (x+1,y-1).(4,-3)=0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x=2\\ y=5\end{cases}$
Vậy

$H(2;5)$
e) Tọa độ trọng tâm

$G(\frac{5}{3};\frac{2}{3})$
f)

$I(x;y)$ là tâm

$I$ của đường tròn ngoại tiếp

$\Delta ABC$

$\Leftrightarrow AI=BI=CI$

$\Leftrightarrow \begin{cases} AI^{2}=BI^{2} \\ AI^{2}=CI^{2}\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} (x-1)^{2}+(y-2)^{2}=(x+1)^{2}+(y-1)^{2} \\ (x-1)^{2}+(y-2)^{2}=(x-5)^{2}+(y+1)^{2}\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x=\frac{3}{2}\\y=-\frac{3}{2}\end{cases}$