|
|
Viết lại $(1) \Leftrightarrow m^2+5mx+3x^3+2x^2+3x-x^4-1=0 (2)$
Xem $(2)$ là phương trình bậc $2$ đối với $m$
Ta có: $\Delta_m=4x^4-12x^3+17x^2-12x+4=(2x^2-3x+2)^2$
Các nghiệm của $(2)$ là $m_1=x^2-4x+1; m_2=-x^2-x-1$
Do vậy $(2) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{m=x^2-4x+1}\\
{m=-x^2-x-1}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x^2-4x+1-m=0 (3)}\\
{x^2+x+1+m=0 (4)}
\end{array}} \right.$
$\Delta'_1=4-1+m=m+3; \Delta_2=1-4-4m=-4m-3$
các nghiệm nếu có của phương trình $(3)$ là : $x_{1,2}=2 \pm \sqrt{m+3}$
Các nghiệm nếu có của phương trình $(4)$ là : $x_{1.2}=\frac{-1\pm \sqrt{-4m-3}}{2}$
Để ý (*):$ (x^2-4x+1-m)+(x^2+x+1+m)=2x^2-3x+2=2(x-\frac{3}{4})^2+\frac{7}{8}>0, \forall x$ suy ra các phương trình$(3)$ và $(4)$ không có nghiệm chung
* Nếu $m<-3$:
* $\Delta'_1<0:$ Phương trình $(3)$ vô nghiệm
* $\Delta_2: $ Phương trình $(4)$ có hai nghiệm phân biệt $x_{1,2}=\frac{-1\pm \sqrt{-4m-3}}{2}$
Suy ra phương trình $(1)$ có hai nghiệm phân biệt $x_{1,2}=\frac{-1 \pm \sqrt{-4m-3}}{2}$
* Nếu $m=-3$:
* $\Delta'_1<0:$ Phương trình $(3)$ có nghiệm kép $x_1=x_2=2$
* $\Delta_2: $ Phương trình $(4)$ có hai nghiệm phân biệt $x_3=1, x_4=-2$
Suy ra phương trình $(1)$ có nghiệm $x=1, x=\pm 2$
* Nếu $-3<m<-\frac{3}{4}$
* $\Delta'_1<0:$ Phương trình $(3)$ có hai nghiệm phân biệt $x_{1,2}=2 \pm \sqrt{m+3}$
* $\Delta_2: $ Phương trình $(4)$ có hai nghiệm phân biệt $x_{3,4}=\frac{-1 \pm \sqrt{-4m-3}}{2}$
Suy ra phương trình $(1)$ có $4$ nghiệm phân biệt
$x_{1,2}=2 \pm \sqrt{m+3}; x_{3,4}=\frac{-1 \pm \sqrt{-4m-3}}{2}$
* Nếu $m=-\frac{3}{4}$
* $\Delta'_1<0:$ Phương trình $(3)$ có hai nghiệm phân biệt $x_1= \frac{1}{2}; x_2=\frac{7}{2}$
* $\Delta_2: $ Phương trình $(4)$ có một nghiệm kép $x_2=x_4=-\frac{1}{2}$
Suy ra phương trình $(1)$ có $3$ nghiệm phân biệt $x=\pm \frac{1}{2}; x=\frac{7}{2}$
* Nếu $m>-\frac{3}{4}$
* $\Delta'_1<0:$ Phương trình $(3)$ có hai nghiệm phân biệt $x_{1,2}= 2 \pm \sqrt{m+3}$
* $\Delta_2: $ Phương trình $(4)$ vô nghiệm
Suy ra phương trình $(1)$ có hai nghiệm phân biệt $x_{1,2}=2 \pm \sqrt{m+3}$
Tóm lại:
* Nếu $m<-3$: Phương trình $(1)$ có hai nghiệm phân biệt $x_{1,2}=\frac{-1 \pm \sqrt{-4m-3}}{2}$
* Nếu $m=-3$: Phương trình $(1)$ có nghiệm $x=1, x=\pm 2$
* Nếu $-3<m<-\frac{3}{4}$: Phương trình $(1)$ có bốn nghiệm phân biệt
$x_{1,2}=2 \pm \sqrt{m+3}; x_{3,4}=\frac{-1 \pm\sqrt{-4m-3}}{2}$
* Nếu $m=-\frac{3}{4}$: Phương trình $(1)$ có ba nghiệm phân biệt $x=\pm \frac{1}{2}; x=\frac{7}{2}$
* Nếu $m>-\frac{3}{4}$: Phương trình $(1)$ có hai nghiệm phân biệt $x_{1,2}=2 \pm \sqrt{m+3}$
|