Bài 109779

Question

Giải và biện luận theo $a$ số nghiệm của phương trình
$2x^4-4x^3+(4-a)x^2+(a-2)x+a-a^2=0 (1)$

score 0 · Answer 1

Viết lại $(1) \Leftrightarrow a^2+(x^2-x-1)a-2x^4+4x^3-4x^2+2x=0      (2)$
Xem $(2)$ là phương trình đối với ẩn $a$
Sẽ có $\Delta'=(x^2-x-1)^2-4(-2x^4+4x^3-4x^2+2x)=(3x^2-3x+1)^2$
$\Leftrightarrow$ Các nghiệm của $(2)$ là: $a_1=x^2-x+1; a_2=-2x^2+2x$
Do vậy $(2) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{a=x^2-x+1}\\
{a=-2x^2+2x}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x^2-x+1-a=0       (3)}\\
{2x^2-2x+a=0       (4)}
\end{array}} \right. $
Để ý $(x^2-x+1-a)+(2x^2-2x+a)=3x^2-3x+1=3(x-\frac{1}{2})^2+\frac{1}{4}>0 \forall x \in R$
$\Rightarrow$ Hai phương trình $(3)$ và $(4)$ không có nghiệm chung
* Xét phương trình $(3): \Delta'=4a-3$
* Nếu $a<\frac{3}{4} \Leftrightarrow \Delta'<0$: Phương trình $(3)$ vô nghiệm
* Nếu $a=\frac{3}{4} \Leftrightarrow \Delta'=0$: Phương trình $(3)$ có nghiệm kép $x=\frac{1}{2}$
* Nếu $a>\frac{3}{4} \Leftrightarrow \Delta'>0$: Phương trình $(3)$ có hai nghiệm phân biệt
             $x=\frac{1+\pm \sqrt{4a-3}}{2}$
* Xét phương trình $(4): \Delta'=1$
* Nếu $a<\frac{1}{2} \Leftrightarrow \Delta'>0$: Phương trình $(4)$ có hai nghiệm phân biệt
             $x=\frac{1 \pm \sqrt{1-2a}}{2}$
* Nếu $a=\frac{1}{2} \Leftrightarrow \Delta'=0$: Phương trình $(4)$ có nghiệm kép $x=\frac{1}{2}$
* Nếu $a >\frac{1}{2} \Leftrightarrow \Delta'<0$: Phương trình $(4)$ vô nghiệm
Tóm lại, từ các kết quả trên cùng với $(5)$ kết luận:
* Nếu $a<\frac{1}{2}$: Phương trình $(1)$ có hai nghiệm $x=\frac{1\pm\sqrt{1-2a}}{2}$
* Nếu $a=\frac{1}{2}$: Phương trình $(4)$ có nghiệm kép $x=\frac{1}{2}$
* Nếu $\frac{1}{2}<a<\frac{3}{4}$: phương trình $(1)$ vô nghiệm
* Nếu $a> \frac{3}{4}$: phương trình $(1)$ có hai nghiệm phân biệt $\frac{1+\pm \sqrt{4a-3}}{2}$

Bài 109779

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 109779

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan