Bài 109876

Question

Cho hình lăng trụ đứng

$ABC.A_1B_1C_1$ có đáy

$ABC$ vuông cân tại

$A$ .Đoạn nối trung điểm

$M$ của

$AB$ và trung điểm

$N$ của

$B_1C_1$ có độ dài bằng

$a,MN$ hợp với đáy góc

$\alpha$ và mặt bên

$(BCC_1B_1)$ góc

$\beta$

$a.$ Tính các đáy và cạnh bên của lăng trụ theo

$a,\alpha$

$b.$ chứng minh rằng

$cos\alpha =\sqrt{2}sin\beta$

score 0 · Answer 1

$a.$ Gọi

$H$ là trung điểm của

$BC$ ta có :

$NH//BB_1\Rightarrow NH\bot (ABC)$
suy ra

$MH$ là hình chiếu vuông góc của

$MN$ trên

$(ABC)$ do đó :

$(MN,(ABC))=\widehat{NMH}=\alpha$
Ngoài ra :

$\begin{cases} AH\bot BC\\AH\bot BB_1\end{cases} \Rightarrow AH\bot (BCC_1B_1)$
Gọi

$E$ là trung điểm

$BH$ suy ra :

$ME//AH\Rightarrow ME\bot (BCC_1B_1)$
suy ra

$NE$ là hình chiếu vuông góc của

$MN$ trên

$BCC_1B_1$ do đó :

$(MN,(BCC_1B_1))=\widehat{MNE}=\beta$
Trong

$\Delta MNH$ vuông tại

$H$ ta có :

$MH=MNcos\widehat{NMH}=a.cos\alpha$

$NH=MN.sin\widehat{NMH}=a.sin\alpha \Rightarrow AA_1=a.sin\alpha$
Trong

$\Delta ABC$ cân tại

$A$ vì

$MH$ là đường trung bình nên :

$AB=AC=2MH=2a.cos\alpha$

$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=2\sqrt{2}a.cos\alpha$

$AH=\frac{1}{2} BC=\sqrt{2}a.cos\alpha$

$b.$ Trong

$\Delta MNE$ vuông

$E$ ta có :

$sin\beta =\frac{BE}{MN} =\frac{\frac{1}{2}AH }{MN} =\frac{\frac{1}{2}\sqrt{2}.cos\alpha }{a} =\frac{cos\alpha }{\sqrt{2} } \Leftrightarrow cos\alpha =\sqrt{2}sin\beta$

Bài 109876

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 109876

1 Đáp án

Liên quan

Sử dụng công thức thể tích tính khoảng cách

Lý thuyết liên quan