Bài 109943

Question

Cho tam giác

$ABC$ và một điểm

$M$ tùy ý không thuộc các đường thẳng

$AB, BC, CA$ . Gọi

$A', B', C'$ theo thứ tự là các điểm đối xứng của

$M$ qua trung điểm

$I, K, J$ của các cạnh

$BA, CA, AB$ . Chứng minh rằng:
a) Ba đường thẳng

$AA', BB', CC'$ đồng quy tại một điểm

$M_1$ .
b) Đường thẳng

$MM_1$ luôn đi qua một điểm cố định khi

$M$ di động

hoàng anh thọ · Answer 1 · 7/23/2012 2:02:28 PM

a) Ta có:

$\overrightarrow{AB}=2 \overrightarrow{KJ}$ và

$\overrightarrow{B'A'}=2 \overrightarrow{KJ}\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{B'A'}$
Vậy

$ABA'B'$ là hình bình hành, nên

$AA'$ và

$BB'$ cắt nhau tại trung điểm chung

$M_1$ của chúng.
Tương tự,

$BB'$ và

$CC'$ cũng cắt nhau tại trung điểm chung

$M_1$ của chúng.
Vậy ba đoạn thẳng

$AA', BB', CC'$ giao nhau tại trung điểm chung

$M_1$ của chúng.
b) Ta có:

$\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MA'}$ và

$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MA'}=2 \overrightarrow{MM_1}$
Suy ra

$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=2 \overrightarrow{MM_1}=3 \overrightarrow{MG}$ (

$G$ là trọng tâm

$\Delta ABC$ )
hay

$\overrightarrow{MM_1}=\frac{3}{2}\overrightarrow{MG}$ nên

$M, M_1, G$ thẳng hàng.
Vậy đường thẳng

$MM_1$ luôn đi qua điểm

$G$ cố định khi

$M$ di động.

1 Đáp án