Bài 110105

Question

Cho tam diện $Sxyz$ có $Sx,Sy,Sz$ đôi một vuông góc.Lấy các điểm $A,B,C$ trên $Sx,Sy,Sz$.Gọi $H$ là trực tâm của $\Delta ABC$
$a.$ Chứng minh rằng $SH\bot (ABC)$
$b.$ Chứng minh rằng $(S_{SBC})^2=S_{ABC}.S_{HBC}$. Từ đó suy ra :
$(S_{ABC})^2=(S_{SAB})^2+(S_{SBC})^2+(S_{SCA})^2$

score 0 · Answer 1

$a.$ Ta có :
$\begin{cases}SA\bot SB\\SA\bot SC \end{cases} \Rightarrow SA\bot (SBC)\Rightarrow SA\bot BC    (1)$
Mặt khác vì $H$ là trực tâm của $\Delta ABC$ nên
$AH\bot BC             (2)$
Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra :
$BC\bot (SAH)\Rightarrow BC\bot SH        (3)$
Chứng minh tương tự, ta được $AB\bot SH      (4)$
Từ $(3)$ và $(4)$ suy ra $SH\bot (ABC)$
$b.$ Trong $\Delta SAA_1$ vuông tại $S$ ta có :
$SA_1^2=AA_1.HA_1\Leftrightarrow \frac{1}{4} SA_1^2.BC^2=\frac{1}{4} AA_1.HA_1.BC^2$
$\Leftrightarrow (S_{SBC})^2=S_{ABC}.S_{HBC}$ (đpcm)
Chứng minh tương tự ta có :
$(S_{SAB})^2=S_{ABC}.S_{HAB}$ và $(S_{SCA})^2=S_{ABC}.S_{HCA}$
Khi đó :
$(S_{SAB})^2+(S_{SBC})^2+(S_{SCA})^2=S_{ABC}.S_{HAB}+S_{ABC}.S_{HBC}+S_{ABC}.S_{HCA}$
$=(S_{HAB}+S_{HBC}+S_{HCA}).S_{ABC}=(S_{ABC})^2$ (đpcm)

Bài 110105

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 110105

1 Đáp án

Liên quan

Sử dụng công thức thể tích tính khoảng cách

Lý thuyết liên quan