Bài 110266

Question

Trong tam giác $ABC$ các trung tuyến $AA',BB',CC'$ giao nhau tại trọng tâm $G$
$a.$ Xác định phép vị tự biến tam giác $ABC$ thành tam giác $A'B'C'$
$b.$ Tìm ảnh của đường cao kẻ từ đỉnh $A$ trong phép vị tự nói trên
$c.$ Gọi $H$ là trực tâm, $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.Chứng minh ba điểm $H,G,O$ cùng nằm trên một đường thẳng (đường thẳng Euler trong tam giác)

score 0 · Answer 1

$a.$ Do $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên :
$\overrightarrow {GA'} =-\frac{1}{2} $\overrightarrow {GA} ;
$\overrightarrow {GB'} =\frac{1}{2} \overrightarrow {GB} $
$\overrightarrow {GC'}=-\frac{1}{2} \overrightarrow {GC} $
Vậy phép vị tự tâm $G$ tỉ số $k=-\frac{1}{2} $ biến tam giác $ABC$ thành tam giác $A'B'C'$
$b.$ Trong phép vị tự tâm $G$ biến tam giác $ABC$ thanh tam giác $A'B'C'$ thì đường cao của $\Delta ABC$ biến thành đường cao $A'D'$ của $\Delta A'B'C',A'D'\bot B'C'$ mà $BC//B'C'$ nên $A'B'\bot BC$.Mặt khác $A'$ là trung điểm của $BC$ nên suy ra tâm $O$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác nằm trên ảnh $A'D'$ của đường cao $AD$ hay nói cách khác, ảnh của đường cao $AD$ là đường thẳng $OA'$, trung trực của cạnh $BC$
$c.$ Tương tự ảnh của đường cao $BE$ là đường thẳng $OB'$ trung trực của $AC$ ảnh của đường cao $CF$ là đường thẳng $OC'$ trung trực của $AB$
Ba đường cao $AD,BE,CF$ giao nhau tại trực tâm $H$, còn ba đường trung trực. $OA',OB',OC'$ giao nhau tại tâm đường tròn ngoại tiếp $O$.Dễ thấy $O$ là trực tâm của tam giác $A'B'C'$
Như vậy trong phép vị tự tâm $G$ tỉ số $k=-\frac{1}{2} $ thì các đường cao $AD,BE,CF$ có ảnh là các đường trung trực của các cạnh $BC,CA,AB$ do đó trực tâm $H$ có ảnh là tâm $O$ của đường tròn ngoại tiếp, suy ra ba tâm $H,G,O$ thẳng hàng và ta có $\overrightarrow {GO} =-\frac{1}{2} \overrightarrow {GH} $

Bài 110266

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 110266

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan