Bài 110266

Question

Trong tam giác

$ABC$ các trung tuyến

$AA',BB',CC'$ giao nhau tại trọng tâm

$G$

$a.$ Xác định phép vị tự biến tam giác

$ABC$ thành tam giác

$A'B'C'$

$b.$ Tìm ảnh của đường cao kẻ từ đỉnh

$A$ trong phép vị tự nói trên

$c.$ Gọi

$H$ là trực tâm,

$O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

$ABC$ .Chứng minh ba điểm

$H,G,O$ cùng nằm trên một đường thẳng (đường thẳng Euler trong tam giác)

score 0 · Answer 1

$a.$ Do

$G$ là trọng tâm tam giác

$ABC$ nên :

$\overrightarrow {GA'} =-\frac{1}{2}$ \overrightarrow {GA} ;

$\overrightarrow {GB'} =\frac{1}{2} \overrightarrow {GB}$

$\overrightarrow {GC'}=-\frac{1}{2} \overrightarrow {GC}$
Vậy phép vị tự tâm

$G$ tỉ số

$k=-\frac{1}{2}$ biến tam giác

$ABC$ thành tam giác

$A'B'C'$

$b.$ Trong phép vị tự tâm

$G$ biến tam giác

$ABC$ thanh tam giác

$A'B'C'$ thì đường cao của

$\Delta ABC$ biến thành đường cao

$A'D'$ của

$\Delta A'B'C',A'D'\bot B'C'$ mà

$BC//B'C'$ nên

$A'B'\bot BC$ .Mặt khác

$A'$ là trung điểm của

$BC$ nên suy ra tâm

$O$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác nằm trên ảnh

$A'D'$ của đường cao

$AD$ hay nói cách khác, ảnh của đường cao

$AD$ là đường thẳng

$OA'$ , trung trực của cạnh

$BC$

$c.$ Tương tự ảnh của đường cao

$BE$ là đường thẳng

$OB'$ trung trực của

$AC$ ảnh của đường cao

$CF$ là đường thẳng

$OC'$ trung trực của

$AB$
Ba đường cao

$AD,BE,CF$ giao nhau tại trực tâm

$H$ , còn ba đường trung trực.

$OA',OB',OC'$ giao nhau tại tâm đường tròn ngoại tiếp

$O$ .Dễ thấy

$O$ là trực tâm của tam giác

$A'B'C'$
Như vậy trong phép vị tự tâm

$G$ tỉ số

$k=-\frac{1}{2}$ thì các đường cao

$AD,BE,CF$ có ảnh là các đường trung trực của các cạnh

$BC,CA,AB$ do đó trực tâm

$H$ có ảnh là tâm

$O$ của đường tròn ngoại tiếp, suy ra ba tâm

$H,G,O$ thẳng hàng và ta có

$\overrightarrow {GO} =-\frac{1}{2} \overrightarrow {GH}$

Bài 110266

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 110266

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan