Bài 110357

Question

Trong không gian với hệ tọa độ

$Oxyz$ , cho hình lăng trụ đứng

$ABC.A_1B_1C_1$ với

$A=(a;0;0); B=(-a;0;0); C=(0;1;0); B_1=(-a;0;b) (a>0; b>0)$ .
1) Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng

$B_1C$ và

$AC_1$ theo

$a,b$ .
2) Cho

$a,b$ thay đổi và thỏa mãn

$a+b=4$ . Tìm

$a,b$ để khoảng cách ở câu 1 là lớn nhất.

score 0 · Answer 1

1)Ta có ngay

$A_1=(a;0;b); C_1=(0;1;b)$ .
Từ đó suy ra

$\overrightarrow{B_1C}=(a;1;-b); \overrightarrow{AC_1}=(-a;1;b);\overrightarrow{CC_1}=(0;0;b)$
Như vậy

$[B_1C,AC_1]=(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{1}}&{{-b}}\\ {{1}}&{{b}} \end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{-b}}&{{a}}\\ {{b}}&{{-a}} \end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a}}&{{1}}\\ {{-a}}&{{1}} \end{array}} \right|)=(2b;0;2a)\Rightarrow [\overrightarrow{B_1C},\overrightarrow{AC_1}].\overrightarrow{CC_1}\\=2ab$
theo công thức khoảng cách ta có:

$d(B_1C,AC_1)=\frac{| [\overrightarrow{B_1C},\overrightarrow{AC_1}].\overrightarrow{CC_1}|}{ [\overrightarrow{B_1C},\overrightarrow{AC_1}]}=\frac{2ab}{2\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}$ .
2)Theo bất đẳng thức Côsi ta có: