Bài 110478

Question

Cho hình chóp tứ giác đều

$S.ABCD$ có cạnh đáy

$AB=a$ và đường cao

$SH=\frac{a}{2}$
Chứng

$(SAB)\bot (SCD)$

score 0 · Answer 1

Hình chóp

$S.ABCD$ là hình chóp tứ giác đều nên đường cao

$SH$ có chân

$H$ trùng với tâm của đáy,

$H$ là giao điểm của hai đường chéo của hình vuông.Gọi

$I,J$ theo thứ tự là các trung điểm của

$AB,CD$ thì

$IJ$ đi qua

$H$ và

$H$ là trung điểm của

$IJ$
Ta cũng có

$SI\bot AB$ và

$SJ\bot DC$
Gọi

$d$ là giao tuyến của hai mặt phẳng

$(SAB)$ và

$(SCD)$
Vì

$AB//CD$ nên ta có

$d//AB//DC$ và vì

$SI\bot AB,SJ\bot DC$ nên ta có :

$SI\bot d$ và

$SJ\bot d$
Vậy góc

$ISJ$ là góc hợp bởi hai mặt phẳng

$(SAB),(SCD)$
Trong tam giác

$ISJ$ thì trung tuyến

$SH=\frac{a}{2}$ cạnh

$IJ=a$ suy ra trung tuyến

$SH$ bằng một nửa cạnh đối diện

$IJ$ do đó, tam giác

$ISJ$ là tam giác vuông tại đỉnh

$S$

$\widehat{ISJ}=90^0$
Góc tạo bởi hai mặt phẳng

$(SAB),(SCD)$ là một góc vuông vậy

$(SAB)\bot (SCD)$

1 Đáp án