Bài 110559

Question

Cho Hyperbol $(H)$ có phương trình: $(H):9x^2-16y^2=144$
a. Chuyển phương trình của $(H)$ về dạng chính tắc. Tìm tọa độ các đỉnh, tọa độ các tiêu điểm, tính tâm sai, các đường tiệm cận của $(H)$ và xác định phương trình tham số của $(H)$
b. Viết phương trình Hyperbol $(H_1)$ liên hợp của $(H)$. Tìm các thuộc tính của $(H_1)$ và xác định phương trình tham số của $(H_1)$.
c. Lập phương trình tham số của đường tròn $(C)$ đường kính $F_1F_2$ và tìm giao điểm của $(C)$ với $(H)$.
d. Viết phương trình chính tắc và phương trình tham số của Elip $(E)$ có tiêu điểm trùng với tiêu điểm của $(H)$ và ngoại tiếp hình chữ nhật cơ sở của $(H)$.

hoàng anh thọ · Answer 1 · 7/4/2012 10:22:57 AM

a. Đưa phương trình Hyperbol về dạng: $(H):\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9} =1 \Rightarrow a=4, b=3, c=5$
Từ đó:
- Tâm $O(0;0)$
- Tọa độ các đỉnh $A_1(-4;0), A_2(4;0)$
- Tọa độ các tiêu điểm $F_1(-5;0), F_2(5;0)$
- Tâm sai $e=\frac{5}{4} $
- Phương trình hai đường tiệm cận là $y=\pm \frac{3}{2}x $
- Phương trình tham số của $(H)$ có dạng: $(H):\begin{cases}x=\frac{4}{\cos t} \\ y=3\tan t \end{cases},        t\in [0;2\pi]$\$\left\{ {\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2} } \right\}$
b. Phương trình Hyperbol $(H_1)$ liên hợp của $(H)$ có dạng: $(H_1):\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=-1 $
Từ đó:
- Tâm $O(0;0)$
- Tọa độ các đỉnh $B_1(0;-3), B_2(0;3)$
- Tọa độ các tiêu điểm $F'_1(0;-5), F'_2(0;5)$
- Tâm sai $e=\frac{5}{3} $
- Phương trình hai đường tiệm cận là $y=\pm \frac{3}{4}x $
- Phương trình tham số của $(H_1)$ có dạng: $(H_1):\begin{cases}x=4\tan t \\ y=\frac{3}{\cos t} \end{cases}      t\in [0;2\pi]$\$\left\{ {\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2} } \right\}    $
c. Đường tròn $(C)$ thỏa mãn:
$(C):\begin{cases}Tâm I là trung điểm F_1F_2 \\ Bán kính R=\frac{F_1F_2}{2} \end{cases}   \Leftrightarrow (C):\begin{cases}Tâm I(0;0) \\ Bán kính R=5 \end{cases}   \Leftrightarrow (C):x^2+y^2=25$
Khi đó $(C)$ có phương trình tham số: $(C):\begin{cases}x=5\sin t \\ y=5\cos t \end{cases},    t\in [0;2\pi]$
- Tọa độ giao điểm của $(C)$ với $(H)$: (Bạn đọc tự giải)
d. Giả sử phương trình chính tắc của Elip có dạng: $(E):\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 $ với $a>b          (1)$
- Tiêu cự $c=5\Leftrightarrow a^2-b^2=5^2            (2)$
- Đỉnh $P(4;3)$ là một đỉnh của hình chữ nhật cơ sở của $(H)$. Để Elip $(E)$ ngoại tiếp hình chữ nhật cơ sở của $(H)$:
$\Leftrightarrow P(4;3)\in (E)\Leftrightarrow 9a^2+16b^2-a^2.b^2=0        (3)$
Từ $(2), (3)$ suy ra: $a^2=40, b^2=15$
Vậy phương trình chính tắc $(E)$ có dạng: $(E):\frac{x^2}{40}+\frac{y^2}{15}=1 $
và phương trình tham số có dạng: $(E):\begin{cases}x=2\sqrt{10}\sin t \\ y=\sqrt{15}\cos t \end{cases},    t \in [0;2\pi]$

Bài 110559

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 110559

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan