Bài 106664

Question

Cho họ đường cong

$(C_m)$ có phương trình:

$\frac{x^2}{m^2} + \frac{y^2}{m^2 - 25} = 1$
trong đó

$m$ là tham số

$m \ne 0;m \ne \pm 5$

$1.$ Tùy theo các giá trị của

$m$ , hãy xác định khi nào thì

$(C_m)$ là elip, khi nào là Hypebol?

$2.$ Giả sử

$A$ là một điểm tùy ý trên đường thẳng

$x = 1$ và

$A$ không thuộc trục hoành. Chứng minh rằng với mỗi điểm

$A$ luôn luôn có

$4$ đường cong của họ

$(Cm)$ đi qua

$A$ . Hỏi trong số

$4$ đường cong đó có bao nhiêu elip và bao nhiêu Hypebol?

score 0 · Answer 1

$1.$ Ta có

$(C_m)$ là elip

$\Leftrightarrow {m^2} - 25 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m > 5\\ m < - 5 \end{array} \right.$
(

$C_m$ ) là Hypebol

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m \ne 0\\ {m^2} - 25 < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow 0 < |m| < 5$

$2.$ Gọi tọa độ của điểm

$A$ là

$(1;a)$ với

$(a \ne 0)$

$\begin{array}{l} A \in ({C_m}) \Leftrightarrow \frac{1}{{{m^2}}} + \frac{{{a^2}}}{{{m^2} - 25}} = 1\\ \Leftrightarrow {m^4} - ({a^2} + 26){m^2} + 25 = 0 (1) \end{array}$
Đặt

$t = m^2 (t \ge 0)$ , khi đó:

$\begin{array}{l} (1) \Leftrightarrow f(t) = {t^2} - ({a^2} + 26)t + 25 = 0\\ \Delta = {a^4} + 52{a^2} + 526 > 0 \end{array}$
Vì

$f(t)$ có

$\left\{ \begin{array}{l} \Delta > 0\\ S > 0\\ P > 0 \end{array} \right.\,\,\,;\,\,1f(25) = - 25{a^2} - 20 < 0\,\,\forall a$
Suy ra

$f(t) = 0$ luôn có hai nghiệm

$t_1; t_2$ thỏa mãn :

$0 < {t_1} < 25 < {t_2}$
Suy ra (

$1$ ) luôn có

$4$ nghiệm thỏa mãn:

$0 < m_{1,2}^2 < 25 < m_{3,4}^2$

$\Leftrightarrow |{m_{1,2}}| < 5 < |{m_{3,4}}|$
Vậy ứng với mỗi điểm

$A(1;a)$ luôn có

$4$ đường thuộc họ

$(C_m)$ đi qua. Trong đó có

$2$ elip và

$2$ hypebol.

Bài 106664

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 106664

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan