Bài 110568

Question

Trong không gian cho hai tia

$Ax,By$ chéo nhau và vuông góc với nhau,

$AB$ là đoạn vuôn góc chung.Trên

$Ax,By$ theo thứ tự, ta lấy các điểm

$M,P$ thỏa mãn hệ thức

$2AM.AP=AB^2$
Chứng minh rằng khoảng cách giữa trung điểm

$O$ của đoạn thẳng

$AB$ đến đường thẳng

$MP$ thì bằng

$\frac{1}{2} AB$

score 0 · Answer 1

Kẻ tia

$Bz//Ax$ và lấy trên

$Bz$ điểm

$N$ sao cho

$BN=AM$

$AB\bot (By,Bz)\Rightarrow AB\bot NP$

$MN//AB$

$\Rightarrow MN\bot NP\Rightarrow \widehat{MNP}=90^0$
Mặt khác ta cũng có

$Bz\bot By$

$\Rightarrow \widehat{PBN}=90^0$
Đặt

$MP=a,OP=b,MO=c,AB=MN=2h$

$AM=BN=v, BP=u$
Ta có :

$b^2=h^2+u^2; c^2=h^2+v^2$

$a^2=4h^2+PN^2=4h^2+u^2+v^2$
Từ các hệ thức này, kết hợp với giả thiết

$2u.v=4h^2$ và kết quả của việc áp dụng định lí cosin vào tam giác

$OMP :$

$a^2=b^2+c^2-2bc.cos\widehat{POM}$ ta được :

$cos\widehat{POM}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$
Ta tính diện tích

$\Delta POM$

$S_{POM}=\frac{1}{2} bcsin\widehat{POM} =\frac{1}{2} bc\sqrt{1-\frac{(b^2+c^2-a^2)^2}{4b^2c^2} }$

$S_{PM}=\frac{1}{4} \sqrt{4b^2c^2-(b^2+c^2-a^2)^2}$

$S_{POM}=\frac{1}{4} \sqrt{4(h^2+u^2)(h^2+v^2)-4h^2}$

$S_{POM}=\frac{1}{4} \sqrt{4h^2u^2+4h^2v^2+16h^2} =\frac{ah}{2} (1)$
Mặt khác

$S_{POM}=\frac{1}{2} (OH.a)$ vì

$OH\bot MP (2)$
Từ

$(1),(2)$ suy ra :

$OH=h\Rightarrow OH=\frac{AB}{2}$

1 Đáp án