Bài 110591

Question

Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$; cạnh $SA$ vuông góc với đáy và $SA=a\sqrt{2} $
Tính góc giữa :
$a) SC$ và $(ABCD)$
$b) SC$ và $(SAB)$
$c) SC$ và $(SBD)$

score 0 · Answer 1

$a.$ Gọi $\alpha $ là góc giữa $SC$ với đáy hình chóp.Ta có : $SA\bot (ABCD)$ nên $AC$ là
hình chiếu của $SC$ trên đáy, cho ta :
$\alpha =\widehat{SCA} $
Theo giả thiết, $AC=a\sqrt{2} $
Mà $\tan\widehat{SCA}=\frac{SA}{SC}=\frac{a\sqrt{2} }{a\sqrt{2} }   =1$
$\Rightarrow \alpha =\widehat{SCA}=45^0 $
$b.$ Gọi $\beta $ là góc giữa $SB$ mà mặt bên $(SBC)$ ta có :
$\left.\begin{matrix}SA\bot (ABCD) \\ AB\bot BC\end{matrix}\right\} \Rightarrow SB\bot BC$
(định lí $3$ đường vuông góc)
$\left.\begin{matrix} BC\bot SB\\ BC\bot SA\end{matrix}\right\} \Rightarrow C\bot (ASB)$
Vậy $SB$ là hình chiếu của $SC$ trên mặt phẳng $(SBC)$ hay $\beta =\widehat{CSB} $
Ta có : $SB^2=SA^2+AB^2=2a^2+a^2=3a^2\Rightarrow SB=a\sqrt{3} $
$\tan\alpha =\tan\widehat{CSB}=\frac{BC}{SB}=\frac{a}{a\sqrt{3} }   =\frac{\sqrt{3} }{3} $
$\Rightarrow \beta =30^0$
$c.$ Ta có :
$\left.\begin{matrix}BD\bot SA \\ BD\bot AC\end{matrix}\right\} \Rightarrow BD\bot (ASC)$
$BD\bot (ASC)$ mà $BD\subset (BSD)$ nên $(ASC)\bot (BSD)$
Hai mặt phẳng này cắt nhau theo giao tuyến $SO$, nên nếu từ $C$ (thuộc mặt phảng $ASC$) ta
kẻ $CH\bot (BSD)$ thì điểm $H\in SO$ hay $SH$ là hình chiếu của $SC$ trên mặt phẳng
$(SBD)$.Gọi $\gamma$ là góc giữa $SC$ với $(SBD)$ ta có :
$\gamma=\widehat{HSC} $
Hai tam giác vuông $CHO,SAO$ đồng dạng nên :
$\frac{CH}{SA}=\frac{CO}{SO}\Rightarrow CH=\frac{CO.SA}{SO}=\frac{a\sqrt{10} }{5}    $
Ta lại có : $SC^2=SA^2+AC^2=(a\sqrt{2} )^2+(a\sqrt{2} )^2=4a^2$
$\Rightarrow SC=2a\sqrt{2} $
$sin\gamma=\frac{CH}{SC}=\frac{\frac{a\sqrt{10} }{5} }{2a\sqrt{2} } \Rightarrow
sin\gamma=\frac{\sqrt{10} }{10} \approx 0,3162$
$\Rightarrow \gamma=18^0.28'$

Bài 110591

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 110591

1 Đáp án

Liên quan

Sử dụng công thức thể tích tính khoảng cách

Lý thuyết liên quan