Bài 111169

Question

Cho tứ diện

$ABCD$ , gọi

$G_1,G_2$ theo thứ tự là trọng tâm của các tam giác

$ABD,ACD,M$ là điểm thỏa mãn hệ thức véctơ :

$2\overrightarrow {MC}+\overrightarrow {MD}=\overrightarrow {0}$

$a.$ Chứng minh

$G_1M//(ABC)$

$b.$ Biết

$AB=BC=CA=a$ .Tính độ dài đoạn thẳng

$G_1M$ theo

$a$

$c.$ Chứng minh

$(MG_1G_2)//(ABC)$

$d.$ Tính diện tích thiết diện của tứ diện theo

$a$ khi cắt bởi mặt phẳng

$(MG_1G_2)$

score 0 · Answer 1

$a.$ Hệ thức

$2\overrightarrow {MC}+\overrightarrow {MD}=\overrightarrow {0}$ chứng tỏ điểm

$M$ thuộc đoạn thẳng

$CD$ và chỉa

$CD$ theo tỉ số.

$\frac{MC}{MD}=\frac{1}{2}$
Từ

$M$ kẻ

$MN//BC\Rightarrow \frac{NB}{ND}=\frac{1}{2}$
Gọi

$F$ là trung điểm của

$BD$ , từ tỉ số trên ta suy ra :

$\frac{NF}{NB}=\frac{1}{2}$
Ta cũng có :

$\frac{G_1F}{G_1A}=\frac{1}{2}$

$\Rightarrow \frac{NF}{NB}=\frac{G_1F}{G_1A} \Rightarrow NG_1//AB$

$\left.\begin{matrix} MN//BC\\ NG_1//AB\end{matrix}\right\} \Rightarrow (NG_1M)//(ABC)$

$G_1M\subset (NG_1M)$

$\Rightarrow G_1M//(ABC)$

$b.$ Gọi

$Q$ là trung điểm của

$AB$ ta có

$G_1M//QC$ và

$G_1M=\frac{2}{3} QC$ , suy ra

$G_1M=\frac{a\sqrt{3} }{3}$

$c.$ Dễ thấy

$G_2\in (NG_1M)$

$d.$ Gọi

$P$ là giao điểm của

$G_2M$ và

$AD$ .Ta chứng minh được

$P\in G_1M\Rightarrow$ thiết diện của tứ diện

$ABCD$ với mặt phẳng

$(MG_1G_2)$ là tam giác đều

$MNP$ có cạnh

$MN=\frac{2}{3} a$

$\Rightarrow S_{MNP}=\frac{a^2\sqrt{3} }{9}$

Bài 111169

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 111169

1 Đáp án

Liên quan

Sử dụng công thức thể tích tính khoảng cách

Lý thuyết liên quan