Bài 111410

Question

Cho lăng trụ tam giác đều

$ABC.A'B'C'$ có tất cả các cạnh đều bằng

$a$

$a) M$ là trung điểm của cạnh đáy

$BC$ . Chứng minh

$AM\bot BC'$

$b) N$ là trung điểm của cạnh bên

$BB'$ . Chứng minh

$AN\bot BC'$

$c) P$ là điểm thuộc đoạn thẳng

$A'B'$ sao cho

$B'P=\frac{a}{4}$ và

$Q$ là trung điểm của cạnh

$B'C'$ . Chứng minh

$AN\bot NP$ và

$AN\bot PQ$

score 0 · Answer 1

$a.$ Dễ thấy

$AM\bot (BCC'B')$ và

$BC'\subset (BCC'B')$

$b.$ Theo chứng minh trên, ta có :

$AM\bot BC' (1)$
Tứ giác

$BCC'B'$ là hình vuông

$B'C\bot BC'$
Mà

$MN//B'C\Rightarrow MN\bot BC' (2)$
Từ

$(1),(2)$ suy ra

$BC'\bot (AMN)\Rightarrow BC'\bot AN$

$c)$ Theo giả thiết ta có

$\frac{B'P}{B'N}=\frac{1}{2} ;\frac{BN}{BN}=\frac{1}{2}$

$\Rightarrow \frac{B'P}{B'N}=\frac{BN}{BN}$
Kết quả này cho ta

$\Delta ABN$ đồng dạng

$\Delta NB'P$

$\Rightarrow \widehat{BNP}=\widehat{BNA}$
Vì

$\widehat{BNA}+\widehat{ANB}=90^0$

$\Rightarrow \widehat{B'NP}+\widehat{ANB}=90^0\Rightarrow \widehat{PNA}=90^0$

$\Rightarrow PN\bot NA$
Dễ thấy

$PQ\bot (ABB'A)\Rightarrow PQ\bot AN$

1 Đáp án