Bài 111643

Question

Trong không gian

$Oxyz$ cho ba điểm

$A(1;1;1), B(2;3;4), C(6;-3;2)$ .
a.Chứng minh rằng

$A,B,C$ là ba đỉnh của một tam giác.
b.Tính chu vi và diện tích

$\Delta ABC$ .Tính các góc của

$\Delta ABC$ .
c.Tính độ dài đường cao của

$\Delta ABC$ kẻ từ đỉnh

$B$ , bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác đó.
d.Xác định tọa độ trực tâm

$H$ của

$\Delta ABC$ .
e.Xác định tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp

$\Delta ABC$ .
f.Tính độ dài đường phân giác của

$\Delta ABC$ kẻ từ đỉnh

$B$ .
g.Tìm tọa độ điểm

$M$ thuộc

$Ox$ để

$\Delta MAB$ cân tại

$M$ .
h.Tìm tọa độ điểm

$D$ để

$ABCD$ là hình bình hành.

score 0 · Answer 1

Giải
a) Ta có

$\overrightarrow {AB}(1;2;3)$ và

$\overrightarrow {AC}(5;-4;1)$ suy ra

$\overrightarrow {AB}$ và

$\overrightarrow {AC}$ không cùng phương.
Vậy, ba điểm

$A,B,C$ không thẳng hàng.

b) Khi đó ta lần lượt có:

$CV_{\Delta ABC}=AB+AC+BC$

$=\sqrt{1^{2}+2^{2}+3^{2}}+\sqrt{5^{2}+(-4)^{2}+1^{2}}+\sqrt{4^{2}+(-6)^{2}+(-2)^{2}}\\=\sqrt{14}+\sqrt{42}+\sqrt{56}$

$S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}AB.AC=\frac{1}{2}.\sqrt{14}.\sqrt{42}=7\sqrt{3}$

$\cos B=\frac{\overrightarrow {BA}.\overrightarrow {BC}}{|\overrightarrow {BA}|.|\overrightarrow {BC}}|=\sqrt{\frac{7}{30}}$

$\Rightarrow \cos C=\sin B=\sqrt{1-\cos^{2} B}=\sqrt{\frac{23}{30}}$

c) Gọi

$h_{B}$ là độ dài đường cao kẻ từ đỉnh

$B$ và

$r,R$ theo thứ tự là bán kính đường tròn nội tiếp,ngoại tiếp

$\Delta ABC$ . Ta lần lượt có:

$S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}h_{B}.AC \Leftrightarrow h_{B}=\frac{2S_{\Delta ABC}}{AC}=\frac{2.7\sqrt{3}}{\sqrt{42}}=2\sqrt{7}$

$S_{\Delta ABC}=p.r \Leftrightarrow r=\frac{S_{\Delta ABC}}{p}=\frac{2S_{\Delta ABC}}{AB+BC+AC}=\frac{2.7\sqrt{3}}{\sqrt{14}+\sqrt{42}+\sqrt{56}}=\\\frac{\sqrt{14}}{\sqrt{3}+1}$

$S_{\Delta ABC}=\frac{abc}{4R} \Leftrightarrow R= \frac{AB.BC.CA}{4S_{\Delta ABC}}=\frac{\sqrt{14}.\sqrt{42}.\sqrt{56}}{4.7\sqrt{3}}=\sqrt{14}$

d) Vì

$\Delta ABC$ vuông tại

$A$ nên trực tâm

$H \equiv A$ , tức là

$H(1;1;1)$ .

e) Vì

$\Delta ABC$ vuông tại

$A$ nên tâm

$I$ của đường tròn ngoại tiếp

$\Delta ABC$ chính là trung điểm của

$BC$ , tức là

$I(4;0;3)$ .

f) Gọi

$K(x;y;z)$ là chân đường phân giác trong của

$\Delta ABC$ xuất phát từ

$B$ , ta có:

$\frac{\overrightarrow {AK}}{\overrightarrow {CK} }=-\frac{BA}{BC}=-\frac{1}{2} \Leftrightarrow 2\overrightarrow {AK}=-\overrightarrow {CK}$

$\Leftrightarrow 2(x-1;y-1;z-1)=-(x-6;y+3;z-2)$

$\Leftrightarrow \begin{cases} 2(x-1)=-x+6 \\ 2(y-1)=-y-3 \\ 2(z-1)=-z+2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x=\frac{8}{3} \\ y=-\frac{1}{3} \\ z=\frac{4}{3}\end{cases} \Rightarrow K(\frac{8}{3};-\frac{1}{3};\frac{4}{3})$ .
Khi đó ta được: