Bài 112061

Question

Cho phép vị tự $V$ tâm $O$ tỉ số $k \neq 1$ và một phép tịnh tiến $T$ theo vectơ $\overrightarrow {v}$.
Đặt $F=T o V$ và $F'=V o T$ . Chứng minh rằng:
a) Có một điểm $I$ duy nhất sao cho $F(I)=I$ và điểm $I'$ duy nhất sao cho $F'(I')=I'$.
b) $F$ là một phép vị tự tâm $I$ tỉ số $k$, $F'$ là một phép vị tự tâm $I'$ tỉ số $k$

score 0 · Answer 1

a) Giả sử $F(I)=I$. Điều đó xảy ra khi và chỉ khi nếu $V$ biến $I$ thành $I_1$ thì $T$ biến $I_1$ thành $I$, tức là:
nều $\overrightarrow {OI_1}=k.\overrightarrow {OI}$ thì $\overrightarrow {I_1I}=\overrightarrow {v}$
Từ đó, suy ra: $\overrightarrow {OI}-\overrightarrow {OI_1}=\overrightarrow {v}$ hay $\overrightarrow {OI}-k\overrightarrow {OI}=\overrightarrow {v}$
Do đó: $\overrightarrow {OI}=\frac{\overrightarrow {v}}{1-k}$
Vậy, điểm $I$ xác định duy nhất.
Giả sử $F(I')=I'$. Điều đó xảy ra khi và chỉ khi nếu $T$ biến $I'$ thành $I_1$ thì $V$ biến $I'_1$ thành $I'$, tức là:
nều $\overrightarrow {I'I'_1}=\overrightarrow {v}$ thì $\overrightarrow {OI'}=k\overrightarrow {OI'_1}$
Từ đó, suy ra: $\overrightarrow {OI'}=k(\overrightarrow {OI'}+\overrightarrow {I'I'_1})$ hay $(k-1)\overrightarrow {OI'}=k\overrightarrow {I'I'_1}$
Do đó: $\overrightarrow {OI'}=\frac{k\overrightarrow {v}}{1-k}$
Vậy, điểm $I'$ xác định duy nhất.

b) Với mỗi điểm $M$ bất kì ta lấy điểm $M_1$ sao cho $\overrightarrow {OM_1}=k.\overrightarrow {OM}$, rồi lấy điểm $M'$ sao cho $\overrightarrow {M_1M'}=\overrightarrow {v}$. Khi đó phép hợp thành $F= T o V$ biến $M$ thành $M'$.
Ta đối xứng điểm $I$ sao cho $\overrightarrow {OI}=\frac{\overrightarrow {v}}{1-k}$ thì $I$ là điểm cố định ( không phụ thuộc vào $M$ ) và:
$\overrightarrow {IM'}=\overrightarrow {IO}+\overrightarrow {OM_1}+\overrightarrow {M_1M'}=\overrightarrow {IO}+k\overrightarrow {OM}+\overrightarrow {v}$
$=\overrightarrow {IO}+k(\overrightarrow {IM}-\overrightarrow {IO})+\overrightarrow {v}$
$=(1-k)\overrightarrow {IO}+\overrightarrow {v}+k.\overrightarrow {IM}=k.\overrightarrow {IM}$
Từ đó suy ra $T o V$ là phép vị tự tâm $I$ tỉ số $k$.
Chứng minh tương tự có $F=V o T$ là phép vị tự tâm $I'$ tỉ số $k$.

Bài 112061

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 112061

1 Đáp án

Liên quan

PHÉP VỊ TỰ VÀ SỰ ĐỒNG DẠNG CỦA CÁC KHỐI ĐA DIỆN. CÁC KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU

Lý thuyết liên quan