Bài 112110

Question

Cho phép đối xứng $D_P$ qua mặt phẳng $(P)$ và phép tịnh tiến $T_{\overrightarrow {v}}$ theo vectơ $\overrightarrow {v}$, trong đó $\overrightarrow {v}//(P)$ ($\overrightarrow {v}$ vuông góc với vectơ pháp tuyến của $(P)$).
Phép hợp thành $F=T_{\overrightarrow {v}} o D_P$ được gọi là phép đối xứng trượt. Mặt phẳng $(P)$ gọi là mặt phẳng đối xứng, vectơ $\overrightarrow {v}$ gọi là vectơ trượt.
a) Hãy nêu cách dựng ảnh của một điểm $M$ qua phép đối xứng trượt $F$.
b) Chứng minh rằng $F=D_P o T_{\overrightarrow {v}}$
c) Trong trường hợp $\overrightarrow {v} \neq \overrightarrow {0}$, hãy tìm những điểm $M$ sao cho $F(M)=M$ và những mặt phẳng $\alpha$ sao cho $F(\alpha)=\alpha$ và những đường thẳng $d$ sao cho $F(d)=d.$
d) Chứng minh rằng với mọi điểm $M$ và ảnh $M'=F(M)$, trung điểm của $MM'$ luôn nằm trên một mặt phẳng cố định.

score 0 · Answer 1

a) Với mỗi điểm $M$ lấy $M_1$ đối xứng với $M$ qua $(P)$, rồi lấy $M'$ sao cho $\overrightarrow {M_1M'}=\overrightarrow {v}$
Khi đó , $M'$ là ảnh của $M$ qua phép đối xứng trượt $F=T_{\overrightarrow {v}} o D_P$
b) Nếu ta lấy điểm $M_2$ sao cho $\overrightarrow {MM_2}=\overrightarrow {v}=\overrightarrow {M_1M'}$, khi đó dễ thấy rằng $M'$ đối xứng với $M_2$ qua mặt phẳng $(P)$.
suy ra $F=D_P o T_{\overrightarrow {v}}$
c) Theo cách dựng ảnh $M'$ của điểm $M$ , ta có $MM' \geq M_1M'=|\overrightarrow {v}|>0$
Vậy điểm $M$ không bao giờ trùng với điểm $M'=F(M)$
Giả sử $\alpha$ là một mặt phẳng nào đó, ta gọi $\alpha_1=D_{P}(\alpha)$ và $\alpha'=T_{\overrightarrow {v}}(\alpha_1)$
Suy ra, $F(\alpha)$ xảy ra khi và chỉ khi $\alpha$ trùng với $\alpha'$, tức là khi và chỉ khi:
$D_P(\alpha_1)=T_{\overrightarrow {v}}(\alpha_1)$
Rõ ràng điều đó xảy ra khi và chỉ khi $\alpha_1$ trùng với $(P)$ hay cũng là $\alpha$ trùng với $(P)$
Lập luận tương tự, ta có: Nếu $d$ là đường thẳng thì $F(d)=d$ khi và chỉ khi $d$ nằm trên $(P)$ và $d // \overrightarrow {v}$
d) Với kí hiệu như câu a) và gọi $I$ là trung điểm của $MM', I_1$ là trung điểm của $MM_1$ ( hiển nhiên $I_1 \in (P)$ )
Nhận xét rằng:
$\overrightarrow {I_1I}=\frac{1}{2}\overrightarrow {M_1M'}=\frac{\overrightarrow {2}}{2}$
Vậy, điểm $I$ luôn nằm trên $(P)$.

Bài 112110

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 112110

1 Đáp án

Liên quan

HAI HÌNH BẰNG NHAU

Lý thuyết liên quan