Bài 112201

Question

Cho tam giác

$ABC:$

$P= \sin ^2 A+\sin ^2 B+\sin ^2C$
Chứng minh rằng tam giác

$ABC$ nhọn khi và chỉ khi

$P>2$

cobedangyeu_pro97 · Answer 1 · 7/16/2012 5:10:49 PM

Trước hết chứng minh:

$P=2+2 \cos A \cos B \cos C (*)$
Tam giác

$ABC$ nhọn khi và chỉ khi

$P=2+2 \cos A \cos B \cos C >2$

$\Leftrightarrow \cos A \cos B \cos C >0 (1)$
+ Chứng minh mệnh đề

$1$ : Nếu

$\Delta ABC$ nhọn thì

$(1)$ đúng.
Theo giả thiết:

$\Delta ABC$ nhọn tức góc

$A , B , C$ nhọn nên

$\left\{ \begin{array}{l} \cos A > 0\\ \cos B > 0\\ \cos C > 0 \end{array} \right.$
vậy

$(1)$ đúng.
+ Chứng minh mệnh đề

$2$ :
Nếu

$(1)$ đúng thì

$\Delta ABC$ nhọn.
Do

$(1)$ đúng thì có

$2$ trường hợp.
TH

$1$ : Trong

$3$ thừa số

$\cos A, \cos B , \cos C$ có

$2$ thừa số âm, thừa số còn lại dương. Trường hợp này không xảy ra bởi vì nếu xảy ra thì

$\Delta ABC$ có

$2$ góc tù. Điều này vô lý. Vì

$\Delta ABC$ có không quá

$1$ góc tù.
TH

$2$ : Cả

$3$ thừa số đều dương, tức

$\left\{ \begin{array}{l} \cos A > 0\\ \cos B > 0 \Leftrightarrow A , B , C nhọn \\ \cos C > 0 \end{array} \right.$
Vậy bài toán được chứng minh.
Tương tự - Tam giác

$ABC$ tù khi và chỉ khi

$P <2$
- Tam giác

$ABC$ vuông khi và chỉ khi

$P=2$

(Chứng minh (*):

$\sin^2A+\sin^2B+\sin^2C=\frac{1-\cos2A}{2}+\frac{1-\cos2B}{2}+\sin^2C$

$=2-\frac{1}{2}(\cos 2A+\cos 2B)-\cos^2C=2+\cos C\cos(A-B)-\cos^2C$

$=2+\cos C[\cos(A-B)+\cos(A+B)]=2+2\cos A\cos B\cos C$ )

Bài 112201

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 112201

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan