Bài 112493

Question

Cho điểm

$P=(1;1)$ . Một đường thẳng

$d_1$ thay đổi luôn đi qua

$P$ cắt trục

$Ox,Oy$ lần lượt tại

$A_2$ và

$B_2$ . Một đường thẳng

$d_2$ thay đổi, khác

$d_1$ , luôn luôn đi qua

$P$ , cắt trục

$Ox,Oy$ lần lượt tại

$A_2$ và

$B_2$ . Tìm quỹ tích giao điểm

$Q$ của hai đường thẳng

$A_1B_2$ và

$A_2B_1$ .

Thu Hằng · Answer 1 · 7/19/2012 2:12:18 PM

Đường thẳng

$d_1$ đi qua

$P$ có phương trình

$a_1(x-1)+b_1(y-1)=0$ vì

$d$ cắt cả hai trục

$Ox$ và

$Oy$ nên

$a_1,b_1 \neq 0$
Vì

$d_1$ cắt

$Ox$ và

$Oy$ tại

$A_1$ và

$B_1$ nên:

$A_1=\left ( \frac{a_1+b_1}{a_1};0 \right)$ và

$B_1=\left ( 0;\frac{a_1+b_1}{b_1} \right)$
Tương tự đường thẳng

$d_2$ có phương trình

$a_2(x-1)+b_2(y-1)=0$ và cắt

$Ox,Oy$ tại

$A_2$ và

$B_2$ thì:

$A_2=\left ( \frac{a_2+b_2}{a_2};0\right)$ và

$B_2= \left ( 0;\frac{a_2+b_2}{b_2} \right)$
Phương trình đường thẳng

$A_1B_2$ là

$\frac{x}{\frac{a_1+b_1}{a_1} }+\frac{y}{\frac{a_2+b_2}{b_2} }=1\Leftrightarrow \frac{a_1x}{a_1+b_1}+\frac{b_2y}{a_2+b_2}=1$
Phương trình của đường thẳng

$A_2B_1$ là:

$\frac{x}{\frac{a_2+b_2}{a_2} } +\frac{y}{\frac{a_1+b_1}{b_1} } =1\Leftrightarrow \frac{b_1y}{a_1+b_1}+\frac{a_2x}{a_2+b_2}=1$
Tọa độ của

$Q$ là nghiệm của hệ hai phương trình trên.
Trừ hai phương trình vế theo vế ta được

$x\left ( \frac{a_1}{a_1+b_1} -\frac{a_2}{a_2+b_2}\right )+y\left ( \frac{b_2}{a_2+b_2}- \frac{b_1}{a_1+b_1}\right )=0$

$\Leftrightarrow x.\frac{a_1b_2-a_2b_1}{(a_1+b_1)(a_2+b_2)}+ y.\frac{a_1b_2-a_2b_1}{(a_1+b_1)(a_2+b_2)}=0$

$\Leftrightarrow x+y=0$ .
Chú ý rằng

$d_1$ và

$d_2$ không song song, vì thế

$\frac{a_1}{a_2} \ne \frac{b_1}{b_2}\Rightarrow a_1b_2-a_2b_1 \ne 0$ .
Vậy quỹ tích các điểm

$Q$ là đường thẳng

$x+y=0$

Bài 112493

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 112493

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan