Bài 112493

Question

Cho điểm $P=(1;1)$. Một đường thẳng $d_1$ thay đổi luôn đi qua $P$ cắt trục $Ox,Oy$ lần lượt tại $A_2$ và $B_2$. Một đường thẳng $d_2$ thay đổi, khác $d_1$, luôn luôn đi qua $P$, cắt trục $Ox,Oy$ lần lượt tại $A_2$ và $B_2$. Tìm quỹ tích giao điểm $Q$ của hai đường thẳng $A_1B_2$ và $A_2B_1$.

Thu Hằng · Answer 1 · 7/19/2012 2:12:18 PM

Đường thẳng $d_1$ đi qua $P$ có phương trình $a_1(x-1)+b_1(y-1)=0$ vì $d$ cắt cả hai trục $Ox$ và $Oy$ nên $a_1,b_1 \neq 0$
Vì $d_1$ cắt $Ox$ và $Oy$ tại $A_1$ và $B_1$ nên:
$A_1=\left ( \frac{a_1+b_1}{a_1};0 \right) $ và $B_1=\left ( 0;\frac{a_1+b_1}{b_1} \right) $
Tương tự đường thẳng $d_2$ có phương trình $a_2(x-1)+b_2(y-1)=0$ và cắt $Ox,Oy$ tại $A_2$ và $B_2$ thì: $A_2=\left ( \frac{a_2+b_2}{a_2};0\right) $ và $B_2= \left ( 0;\frac{a_2+b_2}{b_2} \right)$
Phương trình đường thẳng $A_1B_2$ là $\frac{x}{\frac{a_1+b_1}{a_1} }+\frac{y}{\frac{a_2+b_2}{b_2} }=1\Leftrightarrow \frac{a_1x}{a_1+b_1}+\frac{b_2y}{a_2+b_2}=1$
Phương trình của đường thẳng $A_2B_1$ là: $\frac{x}{\frac{a_2+b_2}{a_2} } +\frac{y}{\frac{a_1+b_1}{b_1} } =1\Leftrightarrow \frac{b_1y}{a_1+b_1}+\frac{a_2x}{a_2+b_2}=1$
Tọa độ của $Q$ là nghiệm của hệ hai phương trình trên.
Trừ hai phương trình vế theo vế ta được
$x\left ( \frac{a_1}{a_1+b_1} -\frac{a_2}{a_2+b_2}\right )+y\left ( \frac{b_2}{a_2+b_2}- \frac{b_1}{a_1+b_1}\right )=0$
$\Leftrightarrow x.\frac{a_1b_2-a_2b_1}{(a_1+b_1)(a_2+b_2)}+ y.\frac{a_1b_2-a_2b_1}{(a_1+b_1)(a_2+b_2)}=0$
$\Leftrightarrow x+y=0$.
Chú ý rằng $d_1$ và $d_2$ không song song, vì thế $\frac{a_1}{a_2} \ne \frac{b_1}{b_2}\Rightarrow a_1b_2-a_2b_1 \ne 0$.
Vậy quỹ tích các điểm $Q$ là đường thẳng $x+y=0$

Bài 112493

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 112493

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan