Bài 112559

Question

Xác định dạng của tam giác $ABC$ nếu tam giác đó thỏa mãn các điều kiện
$\begin{cases}S=a^2-(b-c)^2 (1) \\ \sin ^2A+\sin ^2B+\sin ^2C=\cot A+\cot B + \cot C (2)\end{cases} $

cobedangyeu_pro97 · Answer 1 · 7/19/2012 2:39:23 PM

Theo định lý cô sin : $a^2= b^2+c^2-2bc \cos A$ thay vào $(1)$ ta được:
         $\frac{1 }{ 2}bc \sin A= b^2+c^2-2bc \cos A-b^2-c^2+2bc $
         $\frac{ 1}{ 2}bc \sin A = 2bc(1-\cos A) $
         $\Leftrightarrow \tan \frac{ A}{2 }= \frac{ 1}{ 4} $ nên $\tan A=\frac{ 8}{ 15} $
$*$ Chứng minh : $\cot A +\cot B +\cot C = \frac{a^2 + b^2+c^2 }{ 4S} $
nên $(2) \Leftrightarrow \sin ^2 A+ \sin ^2 B + \sin ^2 C = R \frac{ 4R^2(\sin ^2A+\sin ^2B+\sin ^2 C)}{ 8R^3 \sin A \sin B \sin C} $
               $\Leftrightarrow \sin A \sin B \sin C=\frac{ 1}{ 2}    (3)$
Từ $(3)$ nếu $\sin A > \frac{ \pi}{ 2} $ thì $\sin 2A<0$
$(3) \Leftrightarrow \sin A [\cos (B-C)-\cos (B+C)] =1$
        $\Leftrightarrow 2 \sin A \cos (B-C)+ \sin 2A=2$
Vậy $\sin A \cos (B-C) >1.$ Điều này vô lý vì $0<\cos (B-C) \leq 1.$
Do đó $(2)$ đúng thì $A \leq \frac{ \pi}{ 2} $
Từ $(3)$ ta được $\sin A > \frac{ 1}{ 2} $ nên $\tan A > \frac{ \sqrt{3} }{3 } .$ Điều này trái với $\tan A = \frac{8 }{ 15} $
Do $(1)$ đúng vì $\frac{ 1}{ \sqrt{3} } > \frac{8 }{15 } .$
Vậy không tồn tại tam giác $ABC$ thỏa mãn $(1)$ và $ (2)$.

Bài 112559

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 112559

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan