Bài 112661

Question

Với $n$ là số nguyên dương, chứng minh rằng :
a) $C^1_n +2C^2_n+...+(n-1)C^{n-1}_n+nC^n_n = n.2^{n-1}$
b) $2.1C^2_n+3.2C^3_n+...+n(n-1)C^n_n=n(n-1).2^{n-2}$
c) $(-1)^rC^r_rC^r_r+(-1)^{r+1}C^r_{r+1}C^{r+1}_n+...+(-1)^nC^r_nC^n_n = 0$
với $r$ nguyên dương và $r \leq n$.

score 0 · Answer 1

Với mọi $x$ và với $n$ là số nguyên dương ta có :
      $(1+x)^n =C^0_n+C^1_nx+C^2_nx^2+...+C^{n-1}_nx^{n-1}+C^n_nx^n$ (1)
Lấy đạo hàm theo $x$ hai vế của (1) ta được :
      $n(1+x)^{n-1}=C^1_n+2C^2_nx+...+(n-1)C^{n-1}_nx^{n-2}+nC^n_nx^{n-1}$                 (2)
a) Thay $x=1$ vào (2) ta được :
      $n.2^{n-1}= C^1_n+2C^2_n+...+(n-1)C^{n-1}_n+nC^n_n$, đpcm.
b) Lấy đạo hàm theo $x$ hai vế của (2) ta được :
      $n(n-1)(1+x)^{n-2}= 2.1C^2_n+3.2C^3_nx+...+n(n-1)C^n_nx^{n-2}$ (3)
Thay $x=1$ vào (3) ta được :
      $n(n-1).2^{n-2}=2.1C^2_n+3.2C^3_n+...+n(n-1)C^n_n$
c) Lấy đạo hàm cấp $r$ theo $x$ hai vế của (1) ta được :
      $n(n-1)...(n-r+1)(1+x)^{n-r} = \sum\limits_{k = r}^nk(k-1)...(k-r+1)C^k_nx^{k-r}$           (4)
Chia hai vế của (4) cho $r!$ ta được:
      $\frac{1}{r!}n(n-1)...(n-1+1)(1+x)^{n-r} = \sum\limits_{k = r}^n\frac{k(k-1)...(k-r+1)}{r!}C^k_nx^{k-r}$
      $ = \sum\limits_{k = r}^n\frac{k!}{r!(k-r)!}C^k_nx^{k-r} = \sum\limits_{k = r}^nC^r_kC^k_nx^{k-r}$ (5)
Thay $ x = -1$ vào (5) ta được :
      $ 0 = \sum\limits_{k = r}^nC^r_kC^k_n(-1)^{k-r} \Leftrightarrow \sum\limits_{k = r}^nC^r_kC^k_n(-1)^k = 0$ (đpcm)

Bài 112661

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 112661

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan