Trường hợp 1 : Trong 3 số $a, b, c $ có một số bằng $0$ , chẳng hạn là $a$
Khi đó $b+c=0\Rightarrow b^{2013}+c^{2013}=0$
Trường hợp 2 : Cả số đều khác 0
Nếu như có hai số dương và một số âm , giả sử $c $ âm khi đó $c=-(a+b)$
$E=a^{2013}+b^{2013}-(a+b)^{2013}$ nhỏ hơn 0
Nếu như có hai số âm và một số dương , giả sử $c$ dương
Đặt $x=-a , y=-b, z=c=-(a+b)=x+y$
$E=(x+y)^{2013}-(x^{2013}+y^{2013}) (1)$
Trong đó $x^2+y^2+(x+y)^2=1 (2)$
Áp dụng BĐT $(x+y)^2\leq2(x^2+y^2)$ ta có
$\frac{3}{2}(x+y)^2\leq1\leq3(x^2+y^2)$
$\Rightarrow\left\{ \begin{array}{l} x+y\leq\sqrt{\frac{2}{3}} (3)\\ x^2+y^2\geq\frac{1}{3} (4)\end{array} \right.$
Áp dụng BĐT Bunhia Suy rộng
$(x^{2013}+y^{2013})(x+y)(x+y)...(x+y)\geq(x^2+y^2)^{2012}$ ( gồm $2011$ số $x+y$)
$\Rightarrow x^{2013}+y^{2013}\geq\frac{(x^2+y^2)^{2012}}{(x+y)^{2011}}\geq \frac{1}{6^{1006}}\sqrt{\frac{2}{3}} (5)$
Từ $(3), (5)\Rightarrow E\leq \frac{2^{1006}}{3^{1006}}\sqrt{\frac{2}{3}}-\frac{1}{6^{1006}}\sqrt{\frac{2}{3}}$
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{\sqrt6}, z=\sqrt{\frac{2}{3}}\Leftrightarrow a=b=\frac{-1}{\sqrt6} , c=\sqrt{\frac{2}{3}}$