Bài 100838

Question

Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}
3{x^2} + 2xy + {y^2} = 11\\
{x^2} + 2xy + 3{y^2} = 17 + m
\end{array} \right.(H)$
$1$. Giải hệ khi $m= 0$
$2$. Với những giá trị nào của $m$ thì hệ có nghiệm

hoàng anh thọ · Answer 1 · 4/25/2012 9:16:30 AM

$1$. Trước hết chú ý rằng $(H)$ có nghiệm dạng $(0, y)$ khi và chỉ khi $17 + m = 33$
$\Leftrightarrow m = 16$ là nghiệm của hệ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{y^2} = 11\\
3{y^2} = 17 + m
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = \pm \sqrt {11} \\
17 + m = 33
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = \pm \sqrt {11} \\
m = 16
\end{array} \right.$
Vì vậy nếu $m \ne 16$ thì hệ không có nghiệm nào dạng $(0, y)$ và có thể đặt $t = \frac{y}{x}$
Ta có $\left( H \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
t = \frac{y}{x}\\
3{x^2} + 2t{x^2} + {t^2}{x^2} = 11\\
{x^2} + 2t{x^2} + 3{t^2}{x^2} = 17 + m
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \pm \sqrt {\frac{{11}}{{{t^2} + 2t + 3}}} \left( 1 \right)\\
y = tx{\rm{ }} \left( 2 \right)\\
\frac{{3{t^2} + 2t + 1}}{{{t^2} + 2t + 3}} = \frac{{17 + m}}{{11}} \left( 3 \right)
\end{array} \right.$
Với $m = 0$ thì $(3)$ $ \Leftrightarrow \frac{{3{t^2} + 2t + 1}}{{{t^2} + 2t + 3}} = \frac{{17}}{{11}} \Leftrightarrow t = 2,t = - \frac{5}{4}$
Thế $(1)$ vào $(2)$ ta tìm được nghiệm của phương trình là $\left\{ \begin{array}{l}
x = \pm 1\\
y = \pm 2
\end{array} \right.;\left\{ \begin{array}{l}
x = \pm \frac{4}{{\sqrt 3 }}\\
y = \pm \frac{5}{{\sqrt 3 }}
\end{array} \right.$
$2$. Với $m = 16$ hệ có ít nhất $2$ nghiệm $x = 0$, $y = \pm \sqrt {11}$

Với $m \ne 16$ hệ có nghiệm khi và chỉ khi $(3)$ có nghiệm
$ \Leftrightarrow \left( {m - 16} \right){t^2} + 2\left( {m + 6} \right)t + \left( {3m + 40} \right) = 0$
$\Leftrightarrow \Delta ' = {\left( {m + 6} \right)^2} - \left( {3m + 40} \right)\left( {m - 16} \right) \ge 0$
$ \Leftrightarrow {m^2} - 10m - 338 \le 0$
$\Leftrightarrow 5 - 11\sqrt 3 \le m \le 5 + 11\sqrt 3$

Do đó hệ có nghiệm khi: $5 - 11\sqrt 3 \le m \le 5 + 11\sqrt 3$

Bài 100838

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 100838

1 Đáp án

Liên quan

Hệ phương trình đẳng cấp

Lý thuyết liên quan