|
|
• Nếu ${\log _2}\frac{y}{{y + 1}} = 2:$$(1)$ không thỏa $\forall x \in \,R\,$
• Nếu ${\log _2}\frac{y}{{y + 1}} \ne 2,\,\,\,$đặt vế trái của $(1)$ là $f(x)$
$f(x)$ là tam thức bậc $2$ có hệ số $a = 2 - {\log _2}\frac{y}{{y + 1}}$
$f(t) > 0,\,\,\forall x \in \,R\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a > 0\\
\Delta ' < 0
\end{array} \right.$
• $a > 0\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,{\log _2}\frac{y}{{y + 1}} < 2\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,0 < \frac{y}{{y + 1}} < 4$ $\left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
y < - 1\\
y > 0
\end{array} \right.\\
\left[ \begin{array}{l}
y < - \frac{4}{3}\\
y > - 1
\end{array} \right.
\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
y < - \frac{4}{3}\\
y > 0
\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)$
$Đặt {\log _2}\frac{y}{{y + 1}} = t$;
$\begin{array}{l}
\Delta ' < 0\, \Leftrightarrow (1+t)^2+2(1+t)(2-t)<0\Leftrightarrow -t^2+4t+5<0\Leftrightarrow (1+t)(5-t)<0\\\Leftrightarrow \,\,\,\,\left( {1 + {{\log }_2}\frac{y}{{y + 1}}} \right)\left( {5 - {{\log }_2}\frac{y}{{y + 1}}} \right) < 0\\
\end{array}$
Ta có: $\left( {2 - {{\log }_2}\frac{y}{{y + 1}}} \right) > 0 \Rightarrow \left( {5 - {{\log }_2}\frac{y}{{y + 1}}} \right) > 0$
Từ đó suy ra $1 + {\log _2}\frac{y}{{y + 1}} < 0 \Leftrightarrow \,\,\,\,{\log _2}\frac{y}{{y + 1}} < - 1$
$ \Leftrightarrow \frac{y}{{y + 1}} < \frac{1}{2}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \frac{{y - 1}}{{2\left( {y + 1} \right)}} < 0\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\, - 1 < y < 1\,\,\,\,(3)$
$(2)$ và $(3)$ suy ra $ \Rightarrow 0 < y < 1$
Vậy với $0 < y < 1$ bất phương trình $(1)$ thỏa mãn $\forall x \in \,R\,$
|