Bài 101993

Question

Cho hệ phương trình:

$\begin{cases}2x+y=m^2+m \\3x+ y=1 \end{cases}$
a) Xác định

$m$ để hệ phương trình vô nghiệm.
b) Xác định

$m$ để hệ phương trình có duy nhất nghiệm

$(x;y)$ , trong trường hợp đó hãy tìm hệ thức liên hệ giữa

$x$ và

$y$ không phụ thuộc vào

$m$ .
c) Xác định các giá trị nguyên của

$m$ để hệ phương trình có nghiệm

$(x;y$ ) với

$x,y$ là các số nguyên.

score 0 · Answer 1

Giải
a) Ta có:

$D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} m&4\\ 1&m \end{array}} \right| = {m^2} - 4 = (m + 2)(m - 2)$
* Nếu hệ vô nghiệm thì

$D=0\Leftrightarrow m^2-4=0\Leftrightarrow m=2$ hoặc

$m=-2$
* Thử lại: Với

$m=2$ thì hệ trở thành:

$\begin{cases}2x+4y=2 \\ x+2y=1 \end{cases}\Leftrightarrow x+2y=1$
Do đó hệ có vô số nghiệm

$\begin{cases}x=1-2y \\ y\in R \end{cases}$ , do đó

$m=2$ không thỏa.
Với

$m=2$ thì hệ trở thành:

$\begin{cases}-2x+4y=-2 \\ x-2y=-3 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}2x-4y=2 \\ 2x-4y=-6 \end{cases}$ , hệ này vô nghiệm.
Vậy với

$m=-2$ thì hệ đã cho vô nghiệm.
b) Hệ có duy nhất một nghiệm

$(x;y$ ) khi và chỉ khi

$D\neq 0$

$\Leftrightarrow m\neq 2$ và

$m\neq -2$ ; khi đó nếu

$(x;y$ ) là nghiệm của hệt hì ta có:

$\begin{cases}mx+4y=m \\ x+my=m-1 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}m(x-1)=-4y \\ m(y-1)=-x-1 \end{cases}$
Suy ra

$m(x-1)(-x-1)=m(y-1)(-4y)$ hay

$(x-1)(-x-1)=(y-1)(-4y)$ .
Đây là hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào

$m$ .
c) Ta có:

${D_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} m&4\\ {m - 1}&m \end{array}} \right| = {m^2} - 4 + 4 = {(m - 2)^2}$

${D_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 4&m\\ m&{m - 1} \end{array}} \right| = {m^2} - 2m = m(m - 2)$
*

$m=-2$ : Hệ vô nghiệm
*

$m=2$ : Theo câu a) thì hệ có vô số nghiệm

$(x;y)$ với:

$x+2y=1\Leftrightarrow x=1-2y$ .
Như thế hệ có vô số nghiệm nguyên

$(x;y)$ có dạng:

$x=1-2y$ và

$y\in Z$ ( thỏa mãn).
*

$m\neq 2$ và

$m\neq -2$ thì hệ có nghiệm duy nhất là:

$\begin{cases}x=\frac{D_x}{D}=\frac{m-2}{m+2}=1-\frac{4}{m+2} \\ y=\frac{D_y}{D}=\frac{m}{m+2}=1-\frac{2}{m+2} \end{cases}$
Do đó để

$x,y$ là các số nguyên ta phải có

$m+2$ là ước số của

$2$ , nghĩa là:

$\left[ \begin{array}{l}m+2 = \pm 1\\m+2 = \pm 2\end{array} \right.\Leftrightarrow m=-1,m=0$ hoặc

$m=-4$ .
Các nghiệm nguyên của hệ lần lượt tương ứng với các giá trị

$m$ trên là:

$(-3;-1), (5;3), (-1;0)$ và

$(3;2)$ .
Vậy các giá trị

$m$ cần tìm là

$m\in \left \{ -4;-3;-1;0;2\left. \right \} \right.$

Bài 101993

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 101993

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan