Bài 101993

Question

Cho hệ phương trình: $\begin{cases}2x+y=m^2+m \\3x+ y=1 \end{cases}$
a) Xác định $m$ để hệ phương trình vô nghiệm.
b) Xác định $m$ để hệ phương trình có duy nhất nghiệm $(x;y)$, trong trường hợp đó hãy tìm hệ thức liên hệ giữa $x$ và $y$ không phụ thuộc vào $m$.
c) Xác định các giá trị nguyên của $m$ để hệ phương trình có nghiệm $(x;y$) với $x,y$ là các số nguyên.

score 0 · Answer 1

Giải
a) Ta có: $D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
m&4\\
1&m
\end{array}} \right| = {m^2} - 4 = (m + 2)(m - 2)$
      * Nếu hệ vô nghiệm thì $D=0\Leftrightarrow m^2-4=0\Leftrightarrow m=2$ hoặc $m=-2$
      * Thử lại: Với $m=2$ thì hệ trở thành: $\begin{cases}2x+4y=2 \\ x+2y=1 \end{cases}\Leftrightarrow x+2y=1$
Do đó hệ có vô số nghiệm $\begin{cases}x=1-2y \\ y\in R \end{cases}$, do đó $m=2$ không thỏa.
Với $m=2$ thì hệ trở thành: $\begin{cases}-2x+4y=-2 \\ x-2y=-3 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}2x-4y=2 \\ 2x-4y=-6 \end{cases}$, hệ này vô nghiệm.
Vậy với $m=-2$ thì hệ đã cho vô nghiệm.
b) Hệ có duy nhất một nghiệm $(x;y$) khi và chỉ khi $D\neq 0$
$\Leftrightarrow m\neq 2$ và $m\neq -2$; khi đó nếu $(x;y$) là nghiệm của hệt hì ta có:
$\begin{cases}mx+4y=m \\ x+my=m-1 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}m(x-1)=-4y \\ m(y-1)=-x-1 \end{cases}$
Suy ra $m(x-1)(-x-1)=m(y-1)(-4y)$ hay $(x-1)(-x-1)=(y-1)(-4y)$.
Đây là hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào $m$.
c) Ta có:${D_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
m&4\\
{m - 1}&m
\end{array}} \right| = {m^2} - 4 + 4 = {(m - 2)^2}$
               ${D_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
4&m\\
m&{m - 1}
\end{array}} \right| = {m^2} - 2m = m(m - 2)$
    * $m=-2$: Hệ vô nghiệm
    * $m=2$: Theo câu a) thì hệ có vô số nghiệm $(x;y)$ với:
             $x+2y=1\Leftrightarrow x=1-2y$.
      Như thế hệ có vô số nghiệm nguyên $(x;y)$ có dạng:
             $x=1-2y$ và $y\in Z$ ( thỏa mãn).
   * $m\neq 2$ và $m\neq -2$ thì hệ có nghiệm duy nhất là:
    $\begin{cases}x=\frac{D_x}{D}=\frac{m-2}{m+2}=1-\frac{4}{m+2} \\ y=\frac{D_y}{D}=\frac{m}{m+2}=1-\frac{2}{m+2} \end{cases}$
Do đó để $x,y$ là các số nguyên ta phải có $m+2$ là ước số của $2$, nghĩa là:
   $\left[ \begin{array}{l}m+2 = \pm 1\\m+2 = \pm 2\end{array} \right.\Leftrightarrow m=-1,m=0$ hoặc $m=-4$.
Các nghiệm nguyên của hệ lần lượt tương ứng với các giá trị $m$ trên là:
    $(-3;-1), (5;3), (-1;0)$ và $(3;2)$.
Vậy các giá trị $m$ cần tìm là $m\in \left \{ -4;-3;-1;0;2\left. \right \} \right.$

Bài 101993

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 101993

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan