Bài 104300

Question

Tìm $a$ sao cho mọi nghiệm của $\frac{x+1}{2-x}>0 (1)$ đều lớn hơn nghiệm bất kì của $ax^2-4x-1\geq 0$

score 0 · Answer 1

Giải
Ta có: $(1) \Leftrightarrow \frac{x+1}{2-x}>0 \Leftrightarrow -1<x<2$
              $(2) \Leftrightarrow f(x)=ax^2-4x-1\geq 0$
-Khi $a=0$ thì $f(x)=-4x-1\geq 0 \Leftrightarrow x\leq -\frac{1}{4}$ ( loại so với yêu cầu bài toán)
-Khi $a\neq 0$ thì xét $\Delta'=4+a$
+ $a<-4$ thì $\Delta'<0$ và $a<0$ nên $f(x)<0, \forall x\in R$
   Bất phương trình $(2)$ vô nghiệm (loại).
+ $a=-4$ thì $f(x)=-4x^2-4x-1=-(2x+1)^2$
   $f(x)\geq 0 \Leftrightarrow x=-\frac{1}{2}$ (loại so với yêu cầu bài toán).
+ $a>-4$ thì $\Delta'=0$, gọi $x_1, x_2$ là hai nghiệm của $f(x)$
-Khi $a>0$ thì $(2) \Leftrightarrow x\leq x_1\vee x\geq x_2$ (loại so với yêu cầu bài toán)
-Khi $-4<a<0$ thì $(2) \Leftrightarrow x_1\leq x\leq x_2$
Lúc đó yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow x_1<x_2<-1$
$\Leftrightarrow \begin{cases}-4<a<0 \\ af(-1)=a(a+3)>0 \\ \frac{S}{2}=\frac{a}{2}<1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}-4<a<0 \\ a<-3\vee a>0 \\ -2<a<0 \end{cases}$
Hệ vô nghiệm.
Kết luận: Không tồn tại $a$ để mọi nghiệm của $(1)$ đều lớn hơn mọi nghiệm của $(2)$

Bài 104300

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 104300

1 Đáp án

Liên quan

Phương trình, bất phương trình bậc hai và các bài toán liên quan

Phương trình, bất phương trình bậc cao

Lý thuyết liên quan