Bài 104564

Question

Trong không gian với hệ tọa độ Đề các trực chuẩn $Oxyz$ cho đường thẳng ($d$) và mặt phẳng ($P$) có phương trình:
$(d):\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z - 3}}{{ - 2}}$
$(P): 2x – 2y + z – 3 = 0$
$1$. Tìm tọa độ điểm A của đường thẳng d với mặt phẳng ($P$). Tính góc giữa đường thẳng ($d$) và
mặt phẳng ($P$).
$2$. Viết phương trình hình chiếu vuông góc ($d$’) của đường thẳng ($d$) trên mặt phẳng ($P$). Lấy
điểm $B$ nằm trên đường thẳng ($d$) sao cho $AB = a$, với $a$ là số dương cho trước. Xét tỉ số:
$\frac{{AB + AM}}{{BM}}$ với điểm $M$ di động trên mặt phẳng ($P$). Chứng tỏ rằng tồn tại một vị trí của $M$ để tỷ số đó đạt giá trị lớn nhất và tìm giá trị lớn nhất ấy..

score 0 · Answer 1

$1) (d$) có phương trình tham số: $\left\{ \begin{array}{l}
x = t - 1\\
y = 2t + 1\\
z =- 2t + 3
\end{array} \right.$
Thế vào pt ($P$) ta được $t = -1$. Thế trở lại pt ($d$) ta được giao điểm của ($d$) với ($P$) là $A(-2 ;-1 ;5$). Gọi $\varphi $ là góc giữa ($d$) và ($P$) thì :
${\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}}\varphi = \frac{{|2.1 - 2.2 + 1( - 2)|}}{{\sqrt {{2^2} +
{{( - 2)}^2} + {1^1}} \sqrt {{1^2} + {2^2} + {{( - 2)}^2}} }} = \frac{4}{9} \Rightarrow
\varphi = {\rm{arcsin}}\frac{4}{9}$
$2$) Kí hiệu $Q$ là mặt phẳng chứa ($d$) và vuông góc với ($P$) thì ($d’$) = $(Q) \cap (P)$, ($d$) có VTCP
$\overrightarrow v = (1;2; - 2)$
$(P$) có VTPT $\overrightarrow u (2; - 2;1)$ nên ($Q$) có cặp VTCP $\overrightarrow u
;\overrightarrow v $ và có VTPT : $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u
;\overrightarrow v } \right] = (2;5;6)$
($Q$) qua ($-1 ;1 ;3)$ $ \in (d)$ và có VTPT $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u
;\overrightarrow v } \right] = (2;5;6)$ nên ($Q$) có phương trình :
$2x + 5y + 6z – 21 = 0$
Hình chiếu ($d’$) có phương trình : $\left\{ \begin{array}{l}
2x - 2y + z - 3 = 0\\
2x + 5y + 6z - 21 = 0
\end{array} \right.$
Áp dụng định lý hàm số sin cho tam giác $ABM$ ta có :

$\begin{array}{l}
\frac{{AB + AM}}{{BM}} = \frac{{\sin \gamma + \sin \beta }}{{\sin \alpha }} =
\frac{{c{\rm{os}}\frac{{\gamma - \beta }}{2}}}{{\sin \frac{\alpha }{2}}} \le \frac{1}{{\sin
\frac{\alpha }{2}}} \le \frac{1}{{\sin \frac{\varphi }{2}}}\\
\frac{{AB + AM}}{{BM}}m{\rm{ax}} = \frac{2}{{\sin \frac{\varphi }{2}}} \Leftrightarrow
\left\{ \begin{array}{l}
c{\rm{os}}\frac{{\gamma - \beta }}{2} = 1\\
\alpha = \varphi
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\gamma = \beta \\
M \in d'
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
AM = AB = a\\
M \in d'
\end{array} \right.
\end{array}$
Cách dựng $M$ để $\frac{{AB + AM}}{{BM}}$max như sau :
Trong ($Q$) dựng đường tròn tâm $A$, bán kính $a$ cắt $d’$ tại $2$ điểm phân biệt.
$M$ chính là một trong $2$ giao điểm này thỏa mãn điều kiện $\widehat {BAM} = \varphi $

Bài 104564

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 104564

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan