Bài 105531

Question

Cho hàm số: $y = \frac{x^2\cos\alpha + x + {sin^2}\alpha cos\alpha + \sin \alpha }{x +cos\alpha} (\alpha \ne k\pi, k \in Z)$.
1) Với những giá trị nào của $\alpha $ thì hàm số có cực đại và cực tiểu.
2) Viết phương trình tiệm cận xiên của đồ thị.
3) Chứng tỏ rằng tiệm cận xiên luôn luôn tiếp xúc với một parabol cố định. Tìm quỹ tích của tiếp điểm.

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/24/2012 2:51:35 PM

Viết lại hàm số dưới dạng: $y = x\cos \alpha + {\sin ^2}\alpha + \frac{{\sin \alpha }}{{x + c{\rm{os}}\alpha }}{\rm{ (}}\alpha \ne {\rm{k}}\pi {\rm{, k}} \in {\rm{Z)}}$

$1)$ Ta có     $y' = c{\rm{os}}\alpha - \frac{{\sin \alpha }}{{{{(x + c{\rm{os}}\alpha )}^2}}}$
Hàm số có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi $y' = 0$ có hai nghiệm phân biệt $ \ne - c{\rm{os}}\alpha {\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{cos}}\alpha \sin \alpha > 0 \Leftrightarrow k\pi < \alpha < \pi /2 + k\pi {\rm{ (k}} \in {\rm Z})$

$2)$ Dễ nhận thấy rằng $y = x\cos \alpha + {\sin ^2}\alpha $ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

$3)$ Cần xác định $a, b, c$ để parabol $y = {\rm{a}}{{\rm{x}}^2} + bx + c$ luôn tiếp xúc với tiệm cận xiên $y = x\cos \alpha + {\sin ^2}\alpha $ với mọi $\alpha $
Phương trình ${\rm{a}}{{\rm{x}}^2} + bx + c = x\cos \alpha + {\sin ^2}\alpha $ có nghiệm kép với mọi $\alpha $
$ \Leftrightarrow {\rm{a}}{{\rm{x}}^2}(b - c{\rm{os}}\alpha )x + c - {\sin ^2}\alpha = 0$ có nghiệm kép với mọi $\alpha $
$ \Leftrightarrow $ $\Delta = {(b - c{\rm{os}}\alpha )^2} - 4a(c - {\sin ^2}\alpha ) = (1 - 4a)c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\alpha - 2b\cos \alpha + {b^2} + 4a - 4ac = 0$
với mọi $\alpha $.
    $ \Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l}
1 - 4a = 0\\
b = 0\\
{b^2} + 4a - 4ac = 0
\end{array} \right.{\rm{            }} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 1/4\\
b = 0\\
c = 1
\end{array} \right.$
Vậy parabol phải tìm có phương trình $y = {x^2}/4 + 1$
Khi đó hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình
$\begin{array}{l}
{x^2}/4 + 1 = x\cos \alpha + {\sin ^2}\alpha {\rm{ }} \Leftrightarrow {{\rm{x}}^2} - 4x\cos \alpha + 4{\cos ^2}\alpha = 0\\
\Leftrightarrow {(x - 2\cos \alpha )^2} = 0{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{x}} = 2\cos \alpha .
\end{array}$
Ta có $\left| x \right| = 2\left| {c{\rm{os}}\alpha < 2} \right|$ (do $x \ne k\pi $).
Vậy quỹ tích tiếp điểm là cung parabol: $y = {x^2}/4 + 1$, $\left| x \right| < 2$

Bài 105531

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105531

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan