Bài 105837

Question

Trong không gian với hệ tọa độ

$Oxyz$ cho ba điểm

$A(1;0;0); B(0;2;0); C(0;0;3).$

$1$ . Viết phương trình tổng quát của các mặt phẳng

$(OAB), (OBC), (OCA)$ và

$(ABC)$

$2$ . Xác định tọa độ tâm

$I$ hình cầu nội tiếp tứ diện

$OABC.$

$3$ . Tìm tọa độ điểm

$J$ đối xứng với I qua mặt phẳng

$(ABC).$

score 0 · Answer 1

$1.$ PTTQ (phương trình tổng quát )của mp

$(OAB)$ là

$z = 0.$
PTTQ của mp

$(OBC)$ là

$x = 0$
PTTQ của mp

$(OCA)$ là

$y = 0$
Do mặt phẳng

$(ABC$ ) chắn trên các trục tọa độ điểm

$A(1 ;0 ;0) B(0 ;2 ;0) C(0 ;0 ;3)$ nên
PTTQ của (

$ABC$ ) là :

$x + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1$

$2.$ Gọi

$r$ là bán kính hình cầu nội tiếp tứ diện

$OABC$ . Khi ấy

$r$ chính là khoảng cách từ

$I$ đến các
mp

$(OAB) ; (OBC) ; (OAC)$ và

$(ABC)$ nên

$I(r ;r ;r)$ và

$0 < r < d(O ;(ABC))$

$=\frac{1}{\sqrt{1^2+(\frac{1}{2} )^2+(\frac{1}{3} )^2}}=\frac{6}{7} .$
Hơn nữa,

$\begin{array}{l} r = d(I,(ABC)) = \frac{{\left| {r\left( {1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3}} \right)-1} \right|}}{{\frac{7}{6}}} = \frac{{|11r - 6|}}{7}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} r = \frac{1}{3}\\ r = \frac{3}{2} \end{array} \right. \end{array}$
Do

$0 < r < 6/7$ nên

$r = 1/3$
Vậy

$I(1/3 ; 1/3 ; 1/3)$

$3.$ Điểm

$J$ nằm trên đường thẳng qua

$I$ vuông góc với mp

$(ABC$ ) có phương trình tham số:

$\left\{ \begin{array}{l} x = \frac{1}{3} + t\\ y = \frac{1}{3} + \frac{t}{2}\\ z = \frac{1}{3} + \frac{t}{3} \end{array} \right.\,\,\,\,\,\,t \in R$
Giả sử