Bài 105941

Question

Trong không gian toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình:

$x^2+y^2+z^2-2x-4y-6z=0$
1. Tìm toạ độ tâm và bán kính mặt cầu
2. Tuỳ theo giá trị k, xét vị trí tương đối của mặt cầu (S) và mặt phẳng (P):

$x+y-z+k=0$
3. Mặt cầu cắt ba trục toạ độ tại ba điểm A; B; C khác gốc toạ độ O. Viết phương trình mặt phẳng (ABC)
4. Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm B

score 0 · Answer 1

1. Ta có ngay:

$(S): \begin{cases}Tâm I(1; 2; 3) \\ bán kính R= \sqrt{14} \end{cases}$
2. Trước tiên ta có:

$d=d(I, (P))=\frac{|1+2-3+k|}{\sqrt{1^2+1^2+(-1)^2} } = \frac{|k|}{\sqrt{3} }$
Khi đó:
+) Nếu

$d>R$ , tức là

$\frac{|k|}{\sqrt{3} }>\sqrt{14} \Leftrightarrow |k|>\sqrt{42} \Rightarrow$ (P) không cắt (S)
+) Nếu d=R , tức là

$\frac{|k|}{\sqrt{3} }=\sqrt{14} \Leftrightarrow |k|=\sqrt{42} \Rightarrow$ (P) tiếp xúc (S)
+) Nếu

$d<R$ , tức là

$\frac{|k|}{\sqrt{3} }<\sqrt{14} \Leftrightarrow |k|<\sqrt{42} \Rightarrow$ (P) cắt (S) theo giao tuyến là một đường tròn
3. Gọi A; B; C theo thứ tự là giao điểm của (S) với Ox; Oy Oz ta có ngay:

$A(2; 0; 0); B(0; 4; 0); C(0; 0; 6)$
Khi đó, phương trình mặt phẳng (ABC) được cho bởi:

$(ABC): \frac{x}{2}+ \frac{y}{4}+ \frac{z}{6}=1 \Leftrightarrow (ABC): 6x+3y+2z-12=0$
4. Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm B được cho bởi :