Bài 107310

Question

Cho tam giác đều $SAD$ và hình vuông $ABCD$ cạnh $a$ nằm trong 2 mặt phẳng vuông góc với nhau. Gọi $I$ là trung điểm của $AD, M$ là trung điểm của $AB, F$ là trung điểm của $SB$
a) Chứng minh rằng mặt phẳng $(CMF)\bot (SIB)$
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $SD$, giữa $CM$ và $SA$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 6/8/2012 9:18:50 AM

a) Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ như sau:
- Gốc $O\equiv I$, trục $Ox$ đi qua $IA$, trục $Oy$ song song với $AB$, trục $Oz$ đi qua $IS$
khi đó: $I(0;0;0), A(\frac{a}{2},0;0 ),B(\frac{a}{2};a;0 ), C(-\frac{a}{2};a;0 ),S(0;0;\frac{a\sqrt{3} }{2} ), \\M(\frac{a}{2};\frac{a}{2};0 ), F(\frac{a}{4};\frac{a}{2};\frac{a\sqrt{3} }{4}   )$
Mặt phẳng $(CMF)$ có cặp vecto chỉ phương là:
$\overrightarrow{CM}=(a;-\frac{a}{2};0 ) $ hay $(2;-1;0)$ và $\overrightarrow{CF}=(\frac{3a}{4};-\frac{a}{2};\frac{a\sqrt{3} }{4}   ) $ hay $(3;-2;\sqrt{3} )$
$\Rightarrow $ vecto pháp tuyến của $(CMF)$ là $\overrightarrow{n}_1=[\overrightarrow{CM},\overrightarrow{CF} ]=(-\sqrt{3};-2\sqrt{3};-1 ) $
Mặt phẳng $(SIB)$ có cặp vecto chỉ phương
$\overrightarrow{IS}=(0;0;\frac{a\sqrt{3} }{2} ) $ hay $(0;0;1)$
$\overrightarrow{IB}=(\frac{a}{2};a;0 ) $ hay $(1;2;0)$
$\Rightarrow $ Vecto pháp tuyến của $(SIB)$ là $\overrightarrow{n}_2=[\overrightarrow{IS},\overrightarrow{IB} ]=(-2;1;0) $
$\Rightarrow \overrightarrow{n}_1.\overrightarrow{n}_2 =2\sqrt{3}-2\sqrt{3}+0=0\Rightarrow \overrightarrow{n}_1 \bot \overrightarrow{n}_2    $
vậy $(CMF)\bot (SIB)$ (đpcm)

b) Ta có: $AB//CD\Rightarrow AB//(SCD)$ chứa $SD$
$\Rightarrow $ Khoảng cách giữa $AB$ và $SD$ là khoảng cách từ $A$ đến $mp(SCD)$
Ta có: $\overrightarrow{SC} =(-\frac{a}{2};a;-\frac{a\sqrt{2} }{2} )$ hay $(-1;2;-\sqrt{3} )$
$\overrightarrow{SD}=(-\frac{a}{2};0;-\frac{a\sqrt{3} }{2} ) $ hay $(1;0;\sqrt{3} )$
Vecto pháp tuyến của $(SCD)$ là $\overrightarrow{n}=[\overrightarrow{SC},\overrightarrow{SD} ] =(2\sqrt{3};0;-2 )$
$\Rightarrow (SCD):2\sqrt{3}x-2(z-\frac{a\sqrt{3} }{2} ) =0\Leftrightarrow 2\sqrt{3}x-2z+a\sqrt{3}=0 $
$d(AB,SD)=d(A,(SCD))=\frac{|a\sqrt{3} +a\sqrt{3} |}{\sqrt{16} }\frac{a\sqrt{3} }{2} $
Ta có: $SA//MF\Rightarrow SA//(CMF)$ chứa $CM$
Khoảng cách giữa $SA$ và $CM$ là khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(CMF)$
Mặt phẳng $(CMF)$ có vecto pháp tuyến là $\overrightarrow{n}_1=(\sqrt{3};2\sqrt{3};1 ) $
$\Rightarrow (CMF):\sqrt{3}(x+\frac{a}{2} )+2\sqrt{3}y+z=0 \Leftrightarrow \sqrt{3}x+2\sqrt{3}y+z+\frac{a\sqrt{3} }{2}=0     $
$d(SA,CM)=d(A,(CMF))=\frac{|\frac{a\sqrt{3} }{2}+\frac{a\sqrt{3} }{2} |}{\sqrt{16} } =\frac{a\sqrt{3} }{4} $

Bài 107310

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 107310

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan