Bài 108458

Question

Cho đường thẳng (d) và mặt cầu (S) có phương trình:
$(d): \frac{x}{2}=\frac{y+3}{6}=\frac{z+5}{5} ; (S): (x-1)^2+y^2+(z-2)^2=9 $
1. Chứng minh rằng đường thẳng (d) không cắt mặt cầu (S)
2. Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng (d) và tiếp xúc với mặt cầu (S)

score 0 · Answer 1

+) Đường thẳng (d) có vtcp $\overrightarrow{u}(2; 6; 5) $ và đi qua điểm $M(0; -3; -5)$
+) Mặt cầu (S) có tâm $I(1; 0; 2)$ và bán kính $R=3$
1. Chuyển phương trình của (d) về dạng tham số:
        $(d): \begin{cases}x=2t \\ y=6t-3 \\z=5t-5\end{cases} , t\in R$
Thay phương trình tham số của (d) vào phương trình mặt cầu (S) ta được:
        $(2t-1)^2+(6t-3)^2+(5t-7)^2=9 \Leftrightarrow 13t^2-22t+10=0$, vô nghiệm
Vậy đường thẳng (d) không cắt mặt cầu (S)
2. Lấy thêm điểm N(2. 3. 0) thuộc (d), giả sử mặt phẳng (P) cần dựng có phương trình :
        $Ax+By+Cz+D=0$ với $A^2+B^2+C^2>0$
Ta lần lượt có:
+) Vì M, N thuộc (P) nên:
            $\begin{cases}-3B-5C+D=0 \\ 2A+3B+D=0 \end{cases} \Leftrightarrow   \begin{cases}2D=-2A+5C \\ 6B=-2A-5C \end{cases} $
+) Để (P) tiếp xúc với (S) điều kiện là:
            $d(I, (P))=R \Leftrightarrow \frac{|A+2C+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2} }=3 \Leftrightarrow (A+2C+D)^2=9(A^2+B^2+C^2) $
            $\Leftrightarrow (2A+4C+2D)^2=4.9(A^2+B^2+C^2) $
            $\Leftrightarrow (2A+4C-2A+5C)^2=36(A^2+C^2)+(-2A-5C)^2$
            $\Leftrightarrow 2A^2+AC-C^2=0 \Leftrightarrow C=-A $ hoặc $C=2A$
Khi đó:
+) $C=-A \rightarrow 2D=-7A$ và $6B=3A$ nên chọn $A=2$ ta được:
               $ (P_1): 2x+y-2z-7=0$
+) $C=2A \rightarrow D=4A$ và $B=-2A$ nên chọn $A=1$, ta được:
               $(P_2): x-2y+2z+4=0$

Bài 108458

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 108458

1 Đáp án

Liên quan

MẶT CẦU - KHỐI CẦU

Lý thuyết liên quan