Bài 109575

Question

Cho hình chóp

$S.ABCD$ có đáy

$ABCD$ là hình vuông tâm

$O,SA$ vuông góc với mặt phẳng

$(ABCD)$ .Gọi

$H,I,K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm

$A$ trên

$SB,SC,SD$

$a.$ Chứng minh rằng

$BC\bot (SAB),CD\bot (SAD)$

$b.$ Chứng minh rằng

$(SAC)$ là mặt phẳng trung trực của đoạn

$BD$

$c.$ Chứng minh rằng

$AH,AK$ cùng vuông góc với

$SC$ . Từ đó suy ra ba đường thẳng

$AH,AI,AK$ cùng chứa trong một mặt phẳng.

$d.$ Chứng minh rằng

$(SAC)$ là mặt phẳng trung trực của đoạn

$HK$ . Từ đó suy ra

$HK\bot AI$

$e.$ Tính diện tích tứ giác

$AHIK$ biết

$SA=AB=a$

score 0 · Answer 1

$a.$ Từ giả thiết :

$SA\bot (ABCD)\Rightarrow SA\bot BC (1)$
Mặt khác, ta có :

$AB\bot BC$ vì

$ABCD$ là hình vuông

$(2)$
Từ

$(1),(2)$ suy ra

$BC\bot (SAD)$

$b.$ Từ giả thiết :

$SA\bot (ABCD)\Rightarrow SA\bot BD (3)$
Mặt khác, ta có :

$AC\bot BD,$ vì

$ABCD$ là hình vuông
Từ

$(3),(4)$ suy ra :

$BD\bot (SAC)$ tại trung điểm

$O$ của

$BD$
Vậy

$(SAC)$ là mặt trung trực của đoạn

$BD$

$c.$ Từ giả thiết và kết hợp với kết quả câu

$a.$ ta được :

$\begin{cases} AH\bot SB\\AH\bot BC\end{cases} \Leftrightarrow AH\bot (SBC)\Rightarrow AH\bot SC$
Chứng minh tương tự ta được

$AK\bot SC$
Như vậy vì

$AH,AI,AK$ cùng vuông góc với

$SC$ nên ba đường thẳng

$AH,AI,AK$ cùng chưa trong mặt phẳng qua

$A$ và vuông góc với

$SC$

$d.$ Giả sử

$HK$ cắt

$AI$ tại

$E$
Nhận xét rằng :

$\Delta SAB=\Delta SAD (c.g.c)\Rightarrow SH\bot SK$
Trong

$\Delta SBD$ ta có :

$\frac{SH}{SB}=\frac{SK}{SD}\Rightarrow HK//BD$ và

$E$ là trung điểm của

$HK$
Kết hợp với kết quả câu

$a.$ suy ra :

$HK\bot (SAc)$ tại trung điểm

$E$ của

$HK$
Vậy

$(SAC)$ là mặt phẳng trung trực của đoạn

$HK$
Từ kết quả

$HK\bot (SAC)$ suy ra

$HK\bot AI$

$e.$ Ta có :

$S_{AHIK}=\frac{1}{2} AI.HK (5)$ trong đó :
- Trong

$\Delta SAC$ vuông tại

$A$ ta được :

$\frac{1}{AI^2}=\frac{1}{SA^2}+\frac{1}{AC^2}=\frac{1}{a^2} +\frac{1}{2a^2} \Rightarrow AI=\frac{a\sqrt{6} }{3} (6)$
- Trong

$\Delta SBD$ ta được :

$\frac{SH}{SB} =\frac{SK}{SD}=\frac{1}{2} \Rightarrow HK$ là đường trung bình

$\Rightarrow HK=\frac{a\sqrt{2} }{2} (7)$
Thay

$(6),(7)$ vào

$(5)$ ta được

$S_{AIHK}=\frac{1}{2} .\frac{a\sqrt{6} }{3} .\frac{a\sqrt{2} }{b} =\frac{a^2\sqrt{3} }{6}$

Bài 109575

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 109575

1 Đáp án

Liên quan

Sử dụng công thức thể tích tính khoảng cách

Lý thuyết liên quan