Bài 109584

Question

Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình vuông cạnh bằng $a$.Mặt bên $SAB$ là tam giác đều; $SCD$ là tam giác vuông cân đỉnh $S$.Gọi $I,J$ lần lượt là trung điểm của $AB,CD$
$a.$ Tính các cạnh của $\Delta SIJ$ và chứng minh rằng $SI\bot (SCD),SJ\bot (SAB)$
$b.$ Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $S$ trên $IJ$.Chứng minh rằng $SH\bot AC$ và tính độ dài $SH$
$c.$ Gọi $M$ là một điểm thuộc đường thẳng $CD$ sao cho $BM\bot SA$.Tính $AM$ theo $a$

score 0 · Answer 1

$a.$ Xét $\Delta SIJ$ ta lần lượt có :
$IJ=a$ đường trung bình của hình vuông.
$SI=\frac{a\sqrt{3} }{2} $ đường cao trong tam giác đều
$SJ=\frac{1}{2} CD=\frac{a}{2} $ trung tuyến thuộc cạnh huyền của tam giác vuông.
Nhận xét rằng :
$SI^2+SJ^2=(\frac{a\sqrt{3} }{2} )^2+(\frac{a}{2} )^2=a^2=IJ^2\Rightarrow \Delta SIJ$
vuông tại $S\Leftrightarrow SI\bot SJ$
Khi đó :
$\begin{cases}CD\bot SJ\\CD\bot IJ \end{cases} \Leftrightarrow CD\bot (SIJ)\Rightarrow CD\bot
SI\Rightarrow SI\bot (SCD)$
Chứng minh tương tự ta được $SJ\bot (SAB)$
$b.$ Ta có :
$SH\bot CD$ theo kết quả trong $a.$ có $CD\bot (SIJ)$
$SH\bot ,$ theo giả thiết
suy ra
$SH\bot (ABCD)\Rightarrow SH\bot AC$
Trong $\Delta SIJ$ ta có :
$S_{\Delta SIJ}=\frac{1}{2} SH.IJ\Rightarrow SH=\frac{SI.SJ}{IJ} =\frac{\frac{a\sqrt{3}
}{2}.\frac{a}{2} }{a} =\frac{a\sqrt{3} }{4} $

$c.$ Điều kiện để :
$BM\bot SA\Leftrightarrow BM\bot AH$ theo định lí ba đường vuông góc
Ta có ngay $\Delta AIH$ và $\Delta BCM$ là hai tam giác vuông đồng dạng, suy ra :
$\frac{IH}{CM}=\frac{AI}{BC}=\frac{1}{2} \Rightarrow CM=2IH (1)$
Trong $\Delta SIH$ có:
$IH=\sqrt{SI^2-SH^2}=\sqrt{(\frac{a\sqrt{3} }{2} )^2-(\frac{a\sqrt{3} }{4} )^2}=\frac{3a}{4} (2)$
Thay $(2)$ vào $(1)$ ta được :
$CM=2.\frac{3a}{4} =\frac{3a}{2} $
Khi đó : trong $\Delta ADM$ ta có :
$AM^2=AD^2+MD^2=AD^2+(CM-CD)^2=a^2+\frac{3a}{2}-a )^2=\frac{5a^2}{4} $
$\Leftrightarrow AM=\frac{a\sqrt{5} }{2} $ (tức là $M\equiv J$)

Bài 109584

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 109584

1 Đáp án

Liên quan

Sử dụng công thức thể tích tính khoảng cách

Lý thuyết liên quan