Bài 109736

Question

Cho hình chóp

$S.ABCD$ có đáy

$ABCD$ là hình vuông cạnh

$a$ , tâm

$O,SA=a$ và vuông góc với mặt phẳng

$(ABCD)$ .Gọi

$I,M$ theo thứ tự là trung điểm của

$SC,AB$

$a.$ Chứng minh rằng

$OI\bot (ABCD)$

$b.$ Tính khoảng cách từ

$I$ đến đường thẳng

$CM$ từ đó suy ra khoảng cách từ

$S$ tới

$CM$

score 0 · Answer 1

$a.$ Trong

$\Delta SAC$ ta có :

$OI$ là đường trung bình

$\Rightarrow OI//SA\Rightarrow OI\bot (ABCD)$

$b.$ Gọi

$H$ là hình chiếu vuông góc của

$I$ lên

$CM$ ta có :

$\begin{cases} CM\bot HI\\CM\bot OI\end{cases} \Rightarrow CM\bot (IOH)\Rightarrow CM\bot OH$
Trong

$\Delta ABC$ có

$K$ là trọng tâm, ta có :

$OB=\frac{1}{2} AC=\frac{a\sqrt{2} }{2}$

$OK=\frac{1}{3} OB=\frac{a\sqrt{2} }{6}$
Trong

$\Delta OCK$ vuông tại

$O$ ta có:

$\frac{1}{OH^2}=\frac{1}{OK^2}+\frac{1}{OC^2} =\frac{1}{(\frac{a\sqrt{2} }{6} )^2} +\frac{1}{(\frac{a\sqrt{2} }{2} )^2} =\frac{20}{a^2}$

$\Rightarrow OH=\frac{a}{\sqrt{20} }$
Trong

$\Delta OIH$ vuông tại

$O$ ta có :

$IH^2=OI^2+OH^2=(\frac{a}{2} )^2+(\frac{a}{\sqrt{20} } )^2=\frac{3a^2}{10} \Rightarrow IH=\frac{a\sqrt{30} }{10}$
Vậy khoảng cách từ

$I$ tới

$CM$ bằng

$\frac{a\sqrt{30} }{10}$
Vì

$SI\cap CM=C$ nên :

$\frac{d(S,CM)}{d(I,CM)}=\frac{SC}{IC} =2\Rightarrow d(S,CM)=2d(I,CM)=2IH=\frac{a\sqrt{30} }{5}$

1 Đáp án