Bài 110248

Question

Cho hình chóp

$S.ABCD$ có đáy

$ABCD$ là hình vuông cạnh

$a$ ,

$SA=a \sqrt{ 2}$ và vuông góc với đáy
a) Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông
b) Gọi

$(P)$ là mặt phẳng qua

$A$ và vuông góc với

$SC$ . Dựng thiết diện của hình chóp

$S.ABCD$ và mặt phẳng

$(P)$ . Tính diện tích thiết diện

score 0 · Answer 1

a) Ta có

$SA \bot (ABCD)$
Suy ra

$SA \bot AB, SA \bot AD$
Vậy các tam giác

$SAB , SAD$ vuông tại

$A$
Lại có

$AB \bot BC$
Theo định lí ba đường vuông góc

$SB \bot BC$
Vậy tam giác

$SBC$ vuông tại

$B$
Tương tự

$AD \bot CD$
Theo định lí ba đường vuông góc

$SD \bot CD$
Vậy tam giác

$SCD$ vuông tại

$D$
b) Ta có:

$AC=SA=a \sqrt{ 2}$
Suy ra tam giác

$SAC$ vuông cân tạo

$A$
Gọi

$I$ là trung điểm

$SC$ . Ta có

$AI \bot SC$
Mặt khác

$BD \bot AC, BD \bot SA$ . Suy ra

$BD \bot (SAC)$
Do

$(P) \bot SC$ nên

$(P) //BD$ . Suy ra mặt phẳng

$(P)$ cắt mặt phẳng

$(SBD)$ theo giao tuyến là đường thẳng song song với

$BD$
Gọi

$O$ là giao điểm ucar

$AC$ và

$BD$
Ta có

$J$ là trọng tâm của các tam giác

$SAC$ và

$SBD$
Qua

$J$ vẽ đường thẳng song song song với

$BD$ cắt

$SB$ tại

$M$ ,

$SD$ tại

$N$ . Thiết diện là tứ giác

$AMIN$
Ta có

$MN//BD$ nên

$MN \bot AI$
Do đó

$S_{AMIN}=\frac{1}{2}AI.MN$
Trong đó :

$SC=SA \sqrt{2 }=2a$

$AI=\frac{1}{2}SC=a$

$\frac{MN}{BD}=\frac{SJ}{SO}=\frac{2}{3} \Rightarrow MN=\frac{2}{3}BD=\frac{2a\sqrt{ 2} }{3}$
Vậy

$S_{AMIN}=\frac{1}{2}a\frac{2a\sqrt{ 2} }{3} =\frac{a^2 \sqrt{2 } }{3}$

Bài 110248

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 110248

1 Đáp án

Liên quan

HAI MẶT PHẲNG SONG SONG

Lý thuyết liên quan