Bài 111288

Question

Cho hai đường thẳng $\Delta ,\Delta '$ cắt nhau tại điểm $A$.Lấy trên $\Delta $ hai điểm $B,B'$ và trên $\Delta '$ hai điểm $C,C'$.Gọi $H$ và $H'$ theo thứ tự là trực tâm của các tam giác $ABC$ và $A'B'C'$
$a.$ Chứng minh $\overrightarrow {CC'}\bot (\overrightarrow {HH'}-\overrightarrow {BB'} ) $
$BB'\bot (\overrightarrow {HH'}-\overrightarrow {CC'} )$
Suy ra $HH'\bot (\overrightarrow {BB'}-\overrightarrow {CC'} )$
$b.$ Gọi $M,N$ theo thứ tự là trung điểm của cácđoạn thẳng $BC'$ và $B'C$.Chứng minh $\overrightarrow {BB'}-\overrightarrow {CC'}=2\overrightarrow {MN} $
Suy ra $HH'\bot MN$

score 0 · Answer 1

$a.$ Ta xét tích $\overrightarrow {CC'}.(\overrightarrow {HH'}-\overrightarrow {BB'} ) $
$\Leftrightarrow \overrightarrow {CC'}.(\overrightarrow {HB}+\overrightarrow {BB'}+\overrightarrow {B'H'}-\overrightarrow {BB'}    ) $
$\Leftrightarrow \overrightarrow {CC'}.\overrightarrow {HB} +\overrightarrow {CC'}.\overrightarrow {B'H'}         (1)   $
$H$ là trực tâm của tam giác $ABC$ nên $BH\bot AC$
Hay $BH\bot CC'\Rightarrow CC'.B'H'=0        (2)$
$H'$ là trực tâm của tam giác $A'B'C'$ nên $B'H'\bot AC'$
Hay $B'H'\bot CC'\Rightarrow \overrightarrow {CC'}.\overrightarrow {B'H'}=0        (3) $
từ $(1),(2),(3)$ suy ra
$\overrightarrow {CC'}.\overrightarrow {HB}+\overrightarrow {CC'}.\overrightarrow {H'B'}=0 $
$\overrightarrow {CC'}(\overrightarrow {HH'}-\overrightarrow {BB'} )=0\Leftrightarrow \overrightarrow {CC'}\bot (\overrightarrow {HH'}-\overrightarrow {BB'} ) $
Với $\overrightarrow {BB'}\bot (\overrightarrow {HH'}-\overrightarrow {CC'} ) $ cũng lí luận tương tự
Ta có ngay : $\overrightarrow {CC'}\bot (\overrightarrow {HH'}-\overrightarrow {BB'} ) \Leftrightarrow \overrightarrow {CC'}.\overrightarrow {HH'}-\overrightarrow {CC'}.\overrightarrow {BB'}=0        (4)    $
$\overrightarrow {BB'}\bot (\overrightarrow {HH'}-\overrightarrow {CC'} ) \Leftrightarrow \overrightarrow {BB'}.\overrightarrow {HH'}-\overrightarrow {CC'}.\overrightarrow {BB'}=0        (5)    $
Từ $(4),(5)$ suy ra :
$\overrightarrow {BB'}.\overrightarrow {HH'}-\overrightarrow {CC'}.\overrightarrow {HH'}=0    $
$\Leftrightarrow \overrightarrow {HH'}.(\overrightarrow {BB'}-\overrightarrow {CC'} )=0 $
$\Leftrightarrow \overrightarrow {HH'}\bot (\overrightarrow {BB'}-\overrightarrow {CC'} )         (6)$
$b) M$ là trung điểm của $BC'$ cho ta $2\overrightarrow {AM}=\overrightarrow {AB} +\overrightarrow {AC'} $
$N$ là trung điểm của $B'C$ ta cho $2\overrightarrow {AN}=\overrightarrow {AB'}+\overrightarrow {AC}   $
$\Rightarrow 2\overrightarrow {AN}-2\overrightarrow {AM}=\overrightarrow {AB'}-\overrightarrow {AB} +\overrightarrow {AC}-\overrightarrow {AC'}     $
$\Leftrightarrow 2\overrightarrow {MN}=\overrightarrow {BB'}-\overrightarrow {CC'}        (7)    $
Từ $(6),(7)$ suy ra
$2\overrightarrow {MN}\bot \overrightarrow {HH'}\Rightarrow MN\bot HH' $

Bài 111288

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 111288

1 Đáp án

Liên quan

Sử dụng công thức thể tích tính khoảng cách

Lý thuyết liên quan