Bài 111288

Question

Cho hai đường thẳng

$\Delta ,\Delta '$ cắt nhau tại điểm

$A$ .Lấy trên

$\Delta$ hai điểm

$B,B'$ và trên

$\Delta '$ hai điểm

$C,C'$ .Gọi

$H$ và

$H'$ theo thứ tự là trực tâm của các tam giác

$ABC$ và

$A'B'C'$

$a.$ Chứng minh

$\overrightarrow {CC'}\bot (\overrightarrow {HH'}-\overrightarrow {BB'} )$

$BB'\bot (\overrightarrow {HH'}-\overrightarrow {CC'} )$
Suy ra

$HH'\bot (\overrightarrow {BB'}-\overrightarrow {CC'} )$

$b.$ Gọi

$M,N$ theo thứ tự là trung điểm của cácđoạn thẳng

$BC'$ và

$B'C$ .Chứng minh

$\overrightarrow {BB'}-\overrightarrow {CC'}=2\overrightarrow {MN}$
Suy ra

$HH'\bot MN$

score 0 · Answer 1

$a.$ Ta xét tích

$\overrightarrow {CC'}.(\overrightarrow {HH'}-\overrightarrow {BB'} )$

$\Leftrightarrow \overrightarrow {CC'}.(\overrightarrow {HB}+\overrightarrow {BB'}+\overrightarrow {B'H'}-\overrightarrow {BB'} )$

$\Leftrightarrow \overrightarrow {CC'}.\overrightarrow {HB} +\overrightarrow {CC'}.\overrightarrow {B'H'} (1)$

$H$ là trực tâm của tam giác

$ABC$ nên

$BH\bot AC$
Hay

$BH\bot CC'\Rightarrow CC'.B'H'=0 (2)$

$H'$ là trực tâm của tam giác

$A'B'C'$ nên

$B'H'\bot AC'$
Hay

$B'H'\bot CC'\Rightarrow \overrightarrow {CC'}.\overrightarrow {B'H'}=0 (3)$
từ

$(1),(2),(3)$ suy ra

$\overrightarrow {CC'}.\overrightarrow {HB}+\overrightarrow {CC'}.\overrightarrow {H'B'}=0$

$\overrightarrow {CC'}(\overrightarrow {HH'}-\overrightarrow {BB'} )=0\Leftrightarrow \overrightarrow {CC'}\bot (\overrightarrow {HH'}-\overrightarrow {BB'} )$
Với

$\overrightarrow {BB'}\bot (\overrightarrow {HH'}-\overrightarrow {CC'} )$ cũng lí luận tương tự
Ta có ngay :

$\overrightarrow {CC'}\bot (\overrightarrow {HH'}-\overrightarrow {BB'} ) \Leftrightarrow \overrightarrow {CC'}.\overrightarrow {HH'}-\overrightarrow {CC'}.\overrightarrow {BB'}=0 (4)$

$\overrightarrow {BB'}\bot (\overrightarrow {HH'}-\overrightarrow {CC'} ) \Leftrightarrow \overrightarrow {BB'}.\overrightarrow {HH'}-\overrightarrow {CC'}.\overrightarrow {BB'}=0 (5)$
Từ

$(4),(5)$ suy ra :