Bài 105506

Question

Trong hệ tọa độ đề các vuông góc

$Oxyz$ cho ba điểm

$H\left( {\frac{1}{2};0;0} \right)\,\,\,\,\,\,K\left( {0;\frac{1}{2};0} \right)\,\,\,\,\,I\left( {1;1;\frac{1}{3}} \right)$

$a$ ) Viết phương trình giao tuyến của mặt phẳng (

$HKI$ ) với mặt phẳng

$x + z = 0$ ở dạng chính tắc.

$b$ ) Tính

$cosin$ của góc tạo bởi mặt phẳng (

$KHI$ ) với mặt tọa độ

$(Oxy).$

score 0 · Answer 1

$a.$ Mặt phẳng

$(HKI)$ có các véctơ chỉ phương

$\overrightarrow{HK} =(\frac{-1}{2} ,\frac{1}{2},0 )$ và

$\overrightarrow{HI} =(\frac{1}{2},1 ,\frac{1}{3})$ do đó

$(KHI)$ có véctơ pháp tuyến

$\overrightarrow{n}=[\overrightarrow{HK}; \overrightarrow{HI} ]$

$\Rightarrow \overrightarrow{n} =(\frac{1}{6} ,\frac{1}{6},\frac{-3}{4} ).$
Mặt phẳng

$(HKI)$ qua

$H(\frac{1}{2},0,0 )$ và có véc tơ pháp tuyến

$\overrightarrow{n} =(\frac{1}{6} ,\frac{1}{6},\frac{-3}{4} )$ nên

$(HKI)$ có phương trình tổng quát :

$\frac{1}{6}(x-\frac{1}{2} )+\frac{1}{6}y-\frac{3}{4}z=0$

$\Leftrightarrow 2x+2y-9z-1=0$
Giao tuyến của

$(HKI)$ với mặt phẳng

$x+z=0$ có phương trình tổng quát là :

$\begin{cases}2x+2y-9z-1=0 \\ x+z=0\,\,\,(\alpha ) \end{cases}$

$\overrightarrow{n}_{(HIK)}; \overrightarrow{n}_{(\alpha )}=(1;0;1)$ và như vậy giao tuyến có véctơ chỉ phương

$\overrightarrow{\alpha }=[\overrightarrow{n}_{(HIK)};\overrightarrow{\alpha } ] =(2,-11,-2)$
Dễ thấy điểm

$K(0,\frac{1}{2},0 )$ thuộc cả

$2$ mặt phẳng

$(KHI)$ và

$x+z=0$ nên giao tuyến của

$(HKI)$ và

$x+z=0$ là đường thẳng qua

$K(0,\frac{1}{2},0 )$ với véctơ chỉ phương

$\overrightarrow{\alpha } =(2,-11,-2)$ nên có phương trình chính tắc:

$\frac{x-0}{2}=\frac{y-\frac{1}{2} }{-11} =\frac{z-0}{-2} \Leftrightarrow \frac{x}{2}=\frac{y-\frac{1}{2} }{-11} =\frac{z}{-2}$

$b.$

$(HKI)$ có phương trình

$2x+2y-9z-1=0$

$(Oxy)$ có phương trình

$z=0,$ vì vậy góc phẳng

$\varphi$ tạo bởi mặt phẳng

$(HKI)$ và mặt phẳng

$(Oxy)$ có

$cos\varphi=\frac{|0+0-9|}{\sqrt{4+4+81}.\sqrt{0+0+1} } =\frac{9}{\sqrt{89} }$

Bài 105506

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105506

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan